信号处理：单边、双边频谱间的相互转换

由于理论和实际之间的差异，单边、双边频谱间的相互转换是信号处理中的一个基本运算。本文中首先说明单边频谱和双边频谱相互转换的一般过程，之后列出其中若干容易出错的环节，最后以一个简单的例子进行说明。

1. 转换的基本过程

(1) 双边谱到单边谱

对于长度为N的1维实序列

其离散傅立叶变换(DFT)定义为：

其中，k=0，1，…，N-1。设采样频率为fs，则序列{Y}的频率分辨率(间隔)为：

对应于序列{y}的DFT序列{Y}长度也为N，表示为：

根据傅立叶变换的理论，这个序列中的后半部分实际上表示的是负频率信息。实序列的傅立叶变换的元素间存在共轭关系：

其中，常数s为：

这样，当N是奇数时，可以将序列{Y}表示为：

单边谱是长度为(N+1)/2的序列

当N是偶数时，序列{Y}可以表示为：

单边谱是长度为(N/2)+1的序列

其中，式(8)和式(10)中的w1和w2是不为0的权系数，关于不同的频谱类型在不同的参考文献中取值不一。

(2) 从单边谱到双边谱

由从双边谱到单边谱的转换过程可以看到，单边谱序列长度是奇数还是偶数与双边谱序列长度的奇偶属性没有确定的联系，所以在没有关于双边谱长度的先验知识的情况下，认为从单边谱得到的奇数长度的双边谱和偶数长度的双边谱都是正确的。

假设现有长度为N的单边谱序列{X}

可按如下方式得到长度为2N-1(奇数)的双边谱{Y}

按如下方式得到长度为2(N-1)(偶数)的双边谱{Y}

其中，式(12)和式(13)中的权系数与式(8)和式(10)中权系数相对应。

理论上，将式(12)或式(13)中的序列{Y}进行逆傅立叶变换，就可以近似得到式

(1)中的实序列{y}。

2. 需要注意的几个环节

一般来说，在双边谱转换到单边谱的过程中不容易出现错误，但是在单边谱转换到双边谱的过程中应该特别注意如下的几个环节：

• 单边谱的完整性
• 权系数的统一性
• 实序列{y}的提取

下面分别说明这几个问题。

(1) 单边谱的完整性

在某些应用中，会将单边谱进行“截短”处理，即舍去单边谱高频部分的若干谱线，从而突出低频部分的特征。将这样的单边谱变换为双边谱时，如果原始单边谱的长度已知，可以进行补零处理，相当于对信号进行了低通滤波，再将长度等于原始单边谱的近似单边谱变换为双边谱，作为原始双边谱的近似;如果原始单边谱的长度未知，则直接将截短后的单边谱转换为双边谱会带来显著的误差。

(2) 权系数的统一性

由于理论的不统一，有时同一个谱的变换权系数可能存在差异。以功率谱密度为例，一种常见的权系数取法是w1=1，w2=2；文献[1]中对单边功率谱的定义为：

即取w1=w2=2。如果在单边到双边转换的过程和双边到单边的转换过程中使用了不匹配的权系数，就会引入误差，虽然这种误差带来的影响非常小。

(3) 实序列{y}的提取

虽然理论上将对由单边谱转换得到的双边谱进行逆傅立叶变换将会得到实序列，但是由于存在误差，这样得到的序列{y}将有不为零但远小于实部的虚部，直接忽略虚部即可。

3. 一个例子

如图1所示为一个5自由度系统的自由衰减响应，其原始傅立叶谱的幅频曲线和相频曲线如图2和图3所示。

图1 原始时程

图2 原始幅频

图3 原始相频

按上文所述双边谱到单边谱的过程，将双边频谱转换为如图4和图5所示的单边频谱。

图4 原始单边幅频

图5 原始单边相频

按上文所述从单边谱到双边谱的内容，将图4和图5中的单边频谱转换为偶数长度的双边频谱，并对双边频谱进行傅立叶逆变换(IDFT)，结果如图6~图9所示。虽然得到的并不是一个严格的实序列，但图8中的序列与图1中的原始序列完全相等，这与经典理论是一致的。

图6 原始双边IDFT幅值

图7 原始双边IDFT相位

图8 原始双边IDFT实部

图9 原始双边IDFT虚部

将图4和图5中的后1000条谱线舍去，得到截短的单边频谱，其幅频和相频曲线如图10和图11所示。

图10 截短单边幅频

图11 截短单边相频

直接按照上文所述从单边谱到双边谱的过程直接将截短的单边频谱转换为双边频谱，如图12和图13所示，该频谱的IDFT 的实部和虚部分别如图14和图15所示。

对截短的频谱高频段补零，使其恢复到截短前的长度，再计算双边谱，得到的幅值和相位如图16和图17所示，对此双边谱进行IDFT，得到的时域序列的实部和虚部如图18和图19所示。

图12 截短直接双边幅频

图13 截短直接双边相频

图14 截短直接双边IDFT实部

图15 截短直接双边IDFT虚部

图16 截短补零双边幅频

图17 截短补零双边相频

图18 截短补零双边IDFT实部

图19 截短补零双边IDFT虚部

转自：http://www.360doc.com/content/17/0330/15/908538_641424541.shtml