基本不等式

基本不等式的基础形式

，其中，当且仅当时等号成立.

对勾函数

双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。因函数图像和耐克商标相似，也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”

常见题型

积(和)为定值

e.g.
若实数满足，则的最大值是______.

Sol:
由基本不等式

，当且仅当时等号成立.

函数的图像恒过定点 A ，若该点在直线上，则的最大值为______.

Sol:
易知函数必过点，又在直线上.
所以有
.
当且仅当时，等号成立.

e.g.
已知函数，则取最小值时对应的值为______.

Sol:

当且仅当，
即时，取到最小值.

已知，则的最小值为______.

Sol:

当且仅当时等号成立.

e.g.
若对任意的恒成立，则的取值范围是______.

Sol:
恒成立,
即

已知，若不等式恒成立，则的取值范围是______.

Sol:
恒成立，
即

当且仅当时，
即时，等号成立.
即

其他

e.g.

(1) 的最小值;
(2) 的最小值.

Sol:
(1) 令

(2) 令

糖水不等式

e.g.
数列
(1) 证明: 为等比数列，并求出的通项公式.

(2) 证明:

Sol:
(1)

为公比为 3 的等比数列.

(2)

$\begin{aligned} &\dfrac1{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}\\ =&\dfrac{2}{3^1-1}+\dfrac{2}{3^2-1}+\cdot+\dfrac{2}{3^n-1}\\ <&\dfrac{2+1}{3^1-1+1}+\dfrac{2+1}{3^2-1+1}+\cdot+\dfrac{2+1}{3^n-1+1}\\ =&\dfrac{1-(\dfrac{1}{3})^n}{1-\dfrac13}\\ =&\dfrac32 \end{aligned}$

得证.

若，则

技巧题(套路题)

已知求的最大值.

Sol:
想通过乘法获得
于是设
即

上述两式相乘可得

易错

e.g.
. 求的最小值

因为这题是易错题，所以先给可能的错误解法:

这个时候取等号的条件是显然与矛盾，所以我们在用基本不等式的时候，要判断一下，我们能否能取到等号.

正确解法:

当且仅当

带入上式得

注：若这里我们对进行均值不等式计算，是无解的.

推广

权方和不等式

试

Sol:

显然成立.

Sol:

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\\ <&1+\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot n}\\ =&1+\dfrac11-\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13+\cdots+\dfrac1{n-1}-\dfrac1{n}\\ =&2-\dfrac1{n}\\ <&2 \end{aligned}$
从第二项开始放缩

Sol:

$\begin{aligned} &\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\\ <&\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2-1}+\dfrac{1}{3^2-1}+\cdots+\dfrac{1}{n^2-1}\\ =&1+\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{2-1}-\dfrac{1}{2+1}\right)+\left(\dfrac{1}{3-1}-\dfrac{1}{3+1}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right]\\ =&1+\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{2-1}+\dfrac{1}{3-1}\right)-\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right]\\ <&1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac1{2-1}+\dfrac1{3-1}\right)\\ =&\dfrac{7}{4} \end{aligned}$
同样从第二项开始放缩

Sol:

$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}=1+\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k^2}=1+\sum_{k=1}^n\dfrac{4}{4k^2}\\ <&1+\sum_{k=2}^n\dfrac{4}{4k^2-1}=1+2\sum_{k=2}^{n}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)\\ =&1+2\times\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2n+1}\right)\\ <&1+2\times\dfrac{1}{3}\\ =&\dfrac{5}{3} \end{aligned}$
同样从第二项开始放缩

（2017 天津文科数学 T13）
已知两个实数有，求的最小值.

Sol:

当且仅当时，等号成立.

（2017 北京文科数学 T11）
已知在且的条件下，有，求的取值范围.

Sol:

又

（2019 全国卷1 理科 T23）
已知为正数，且满足 . 证明：
(1)
(2)

Sol:
(1)

只需证明
整理得
这个不等式是显然的.

(2)

当且仅当时，等号成立.

补充

1.已知正项数列的前项和满足：
，则数列的通项公式为______.

Sol:

是正项数列

当时，
综上所述，

2.已知正项数列，满足，求数列的通项公式.

Sol:

得到是一个公差为 1 的等差数列.

又
综上所述,

3.已知数列满足，则

Sol:

因为后一项只与前一项有关，所以可以看出周期为 3

所以选 .

不等式

基本不等式