动态规划--使用最小花费爬楼梯

题目描述

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

思路

本题是典型的动态规划解决的题目类型之一，因为本题具有重叠子问题和最优子结构。

解决这道题，首先要确定dp数组的定义。

dp[i] 定义: 到达第i个台阶的最小花费。

状态转移方程：dp[i]有两个来源途径，分别是dp[i-1]和dp[i-2]，在这两个来源上取最小花费即可。得到下面方程

dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])

初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 0

解法

C++版本

Java版本

拓展

因为每次只需前两个数值便可推出当前值，我们可以将空间复杂度压缩到O(1)。