丁小平的新数—形模型与新微积分思想简介

2020年7月14日至17日，第九届国际纯数学与应用数学会议（ICPAM 2020）在线上如期召开，100多名与会者在12个分会场分享了最新的研究成果。近几十年来，应用数学快速发展，数学与工程技术更加密切的结合已成为数学发展的主要趋势之一，主要发达国家都把推动数学发展作为提高其核心竞争力的战略措施之一。科学与工程协会作为科学与工程领域的国际性学术组织，于2012年举办了第一届国际纯数学与应用数学会议。该会议每年举办1次，至今已成功举办9届，汇聚了纯数学和应用数学领域的教授、研究人员、学者和学生，使大会成为一个分享经验、促进跨产业和学术界合作、评估全球新兴技术的完美平台，国际纯数学与应用数学会议已日益成为科学与工程协会的重要会议之一。

2020年7月17日16∶30（希腊时间）北京大学的董朝辉博士后在主题为“数学理论与计算”的第9分会场作了题为“丁小平的新数—形模型与新微积分思想简介”（“A Brief Introduction to Xiaoping Ding’s New Number-figure Model and His Thoughts on New Calculus Principles”）的报告，获得了与会学者的热烈反响，该分会场由Cutberto Romero-Meléndez教授主持。

董博士在报告中介绍了丁小平在分析数学方面的主要思想：

1、微积分原理的使命：微积分方法的诞生早于微积分原理的建立，而微积分原理的使命就是要回答这一方法体系为什么正确，并优化和发展微积分方法。遗憾的是，以柯西为首的数学家建立的现行微积分原理是以牛顿思想为核心而又拼凑了莱布尼茨微分的理论体系，不仅失去了微积分的简洁性，而且未能提供新的微积分方法，甚至本身逻辑上存在错误——无法合理解释微分，而且抛弃微分这一概念，对于复合函数求导、不定积分第二类换元法、微分方程求解原理等问题的回答将会变得异常复杂。这样的原理体系无法提供新的微积分方法。

2、新数—形模型的提出：丁小平从数学、哲学、自然科学等几个方面指出，现行微积分原理体系存在缺陷的根本原因是现行数—形模型的固有矛盾——在现行数—形模型中，由于“无穷分割”思想的滥用，使实数系成为一个动态数系，并导致测度没有数学承担者，进而在构建微积分原理时漏洞百出。科学要通过理论模型来逼近现实从而解释规律，数学同样也离不开模型的建立。在数学科学中，数和形（点、线、面等）都是对现实进行归纳抽象而建立的模型，因此择取更优化的数—形模型是重建微积分原理的基础。人类对数、形的认识经历了漫长的历史过程，从尊崇直觉到尊崇形式逻辑是历史的进步，但盲目否定辩证逻辑却会制约科学的发展。丁小平提出了蕴含辩证思想的新数—形模型，并在新数—形模型的基础上初步阐述了微分和积分的本质及其运算。现实事物在发展过程中都有过渡状态，抽象到数学模型中，丁小平借用黑格尔的“werden”表示“变化”，即量从无到有的过渡状态，并以“有0” Θ表示这种量，它和传统的“无0”是静态相等而动态不等的关系，是量的增长的基本元素。每一个确定的区间都是由“巨多”（多到无法计数但又是确定的）Θ构成的。在Θ内又可以进入下一层级，每一层级内都遵循类似的规则。在新数—形模型中，测度承担者是动态数Θ，而不是人为捏造的违反直觉的“不可数无穷”。相较而言，康托无穷集合理论和勒贝格测度理论就显得尚未成熟。

3、新微积分思想简介：在新数—形模型基础上，丁小平还研究了函数的连续性和趋势——现行体系中的极限就是趋势的结果；并初步构建了微积分体系，以Θ为逻辑起点定义微分，而积分就是微分求和，定积分和不定积分的区别只在于是否确定上下限；微分之商定义为动态导数，与传统意义下的导数静态相等。这样的结构体系是和莱布尼茨的思想相一致的。在新微积分原理中，微分就是增量的精确值。积分就是微分的累加，不涉及近似和极限问题。最后董朝辉呼吁数学同行和一切有识之士重视数学新发展，一起推动数学领域向新阶段迈进！报告结束后，董朝辉回答了参会人员的提问，会场气氛热烈。正如爱因斯坦的相对论引发物理界重新审视牛顿时空观一样，丁小平的新数—形模型也提供了看待微积分的新观点，这项工作是革命性和开创性的。科学的新微积分原理的建立，必将导致更多的微积分方法的揭示，也将直接促使微分方程和微分几何全面发展，间接促进数学其它分支的发展。新数—形模型的建立，将使数学在一个新的基础上发生全面革命，推动基础科学发生根本变革，比如彻底实现虚位移原理的科学化，从而使一般力学建立在更坚实的基础上。数学是自然科学的基础，也是重大技术创新发展的基础。步入20世纪第2个20年，我国对于数学的重视达到了前所未有的程度。国际振动问题权威、清华大学丁文镜教授说：“丁小平在数学科学中所做的工作属于人类重大科学创建，其中在数—形模型和新微积分原理方面所做的工作属于重大原始创新。”新的不存在逻辑错误的微积分原理的建立，其难度不低于诺贝尔奖级的科研成果，如果这项研究成果的结论成立，无疑将是人类科学界的重大原始创新，也将会给中华民族再添辉煌！

（本文作者系北京大学博士后）

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转载自《甘肃科技报》2021年4月16日刊