第二章矩阵 -矩阵及其运算（加减乘法）

目录：

 一、矩阵的基本概念

 1、行矩阵与列矩阵

2、零矩阵

3、负矩阵

 4、方阵

 1）、方阵的定义

 2）、主对角线和次对角线

5、单位阵

 6、只有一个数字的矩阵

7、同型矩阵

 三、矩阵的运算

 1、加法、减法

2、数乘运算

 四、矩阵乘法

1、矩阵的乘法

2、矩阵乘法不满足的三条规律

 3、矩阵乘法的运算规律 

 4、矩阵的可交换

五、矩阵的幂运算

 六、简单的矩阵运算，学到的知识点运用起来。

一、矩阵的基本概念

矩阵本质上是一个数表，用表示，代表一个m*n的矩阵，有m行n列。

矩阵的运用场景非常多，例如关系的表示等。

如下图就是一个4行4列的矩阵。

1、行矩阵与列矩阵

只有1行的矩阵叫做行矩阵

只有1列的矩阵叫做列矩阵

2、零矩阵

矩阵内的所有元素都是0，记作O

3、负矩阵

把原来矩阵的所有元素都取负号，为相反数，称为负矩阵。

例如的负矩阵为。

4、方阵

1）方阵的定义

行数等于列数的矩阵称为方阵，一般也称为n阶矩阵，即，亦

例如下面这个矩阵，就是三行三列的矩阵。

2）、主对角线和次对角线

只有在方阵中才有对角线的概念。如图：

5、单位阵

对角线为1，其余元素为0，这种矩阵称为单位矩阵。记作E。

6、只有一个数字的矩阵

只有一个数字的矩阵也是矩阵。

例如：[5]

7、同型矩阵

两个矩阵形状一样，称为同型矩阵。即行数和列数相等。

例如：和就是同型矩阵。

如果同型矩阵的对应元素相等，那么两个矩阵相等。即相等矩阵的前提是同型矩阵。

二、矩阵与行列式的区别

1、本质上，矩阵是一个数表，而行列式是一个数。

2、符号：矩阵使用  或者 [ ]，而行列式使用 

3、形状上，矩阵不一定是方阵，但是行列式一定是一个方阵，即行数等于列数。

三、矩阵的运算

1、加法、减法

对应元素相加减。（注意：只有同型矩阵才能相加减）

矩阵加减法满足的运算法则也很简单:

A+B=B+A

(A+B+C) = A+(B+C)

A+(-A)=0

A+B = C  A = C - B

2、数乘运算

k乘以矩阵的所有元素。

矩阵数乘和行列式的区别

矩阵提公因子：矩阵所有元素均有公因子，公因子朝外提一次

行列式提公因子：一行（或者一列）提取一次，如果所有元素都有公因子，有n行则提n次。

矩阵数乘满足的运算规律：

k(A+B) = kA + kB

(k+m)A = kA + mA

k(mA) = kmA 

四、矩阵乘法

1、矩阵的乘法

第一行乘以第一列，先相乘后相加。

矩阵相乘的前提条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

结果矩阵的形状：结果矩阵的行等于第一个矩阵的行数，结果矩阵的列数等于第二个矩阵的列数。

宋氏七字：中间相等取两头！宋浩线代飞上天！

例如： * 的结果矩阵就是2*2的方阵。

这个实在太刁了，哥们忍不住吟诗一首：

咏宋浩七字口诀

【现】

不用动脑经，不用花一秒。

捏决拿咒间，单走一个6字。

中间相等两头取，宋浩线代飞上天！

从此不愁线代妖，可喜可贺上大分！

做两个小题目练练手：

 *  = 

 *  = 

2、矩阵乘法不满足的三条规律

1）AB  !=  BA   一般不满足交换律 

例如： 可以相乘，满足中间相等。但是  就不可以，因为3和5中间不相等

矩阵乘法一般来说不满足交换，但是也存在交换的情况，此时满足AB = BA,这种情况叫做AB可交换

2）AB = 0 ，且A ！= 0  不能推出  B = 0

如果是数字运算中，xy = 0，可以推出x/y = 0；但是在矩阵运算中不可以

3）AB = AC ,且A ！= 0 不能推出B = C

同样的，在数字运算中，3x= 3y可以推出x=y，但是在矩阵运算中不可以

总结矩阵不满足的三条规律：

(1)AB ! = BA;     

(2)AB = AC,A!=0 不能推出 B = C;  

(3)AB = 0 不能推出A =0或B = 0; 

（任何矩阵和0矩阵相乘都等于0矩阵，由于矩阵乘法的特殊性，需要注意0矩阵的形状）

3、矩阵乘法的运算规律

1）结合律 (AB)C  = A(BC)

2)分配律 (A+B)C = AC + BC       C(A+B) =  CA + CB  （注意，由于矩阵乘法的特殊性，矩阵的左右位置是有严格意义的，不能随意换，即矩阵的乘法不满足交换律）

3）k(AB) = (kA)B = A(kB)    对于一个数字来说，位置可以随意放置

（注意，对于上述三个运算规律来说，要保持矩阵乘法的先后位置，左乘和右乘的位置不能变）

4、矩阵的可交换

当AB = BA ，即A与B可以交换。当题目给你A与B可交换时，就在提醒你AB = BA

（相等矩阵：同型矩阵对应元素相等）

可交换的前提必须是同型方阵。

否则：例如  =        AB的结果矩阵是2✖2的矩阵

                    =         BA的结果矩阵式3✖3的矩阵

   这里结果明显是不相等的！所以，如果不是同型方阵是不可以交换的。首先结果矩阵的形状就要出错

五、矩阵的幂运算

（注意：矩阵的幂运算必须是方阵,保证连续运算）

矩阵的幂运算： = AA...A   

其中 = E

性质1）  = 

性质2） = 

(再次注意：矩阵的乘法不满足交换律)

   ! = 

例如： !=   

 为什么不相等？

因为： = ABAB

              =  AABB

我们永远要记住：矩阵的乘法不满足交换律，因此上式明显式不相等的。

除非AB可交换，即AB = BA.

同时：

 !=   + 2AB + 

证明：(A+B)(A+B) = (A+B)A + (A+B)B =  + BA + AB + 

很明显，2AB ！= BA + AB 

同理：

  !=  - 2AB + 

证明：(A-B)(A-B) = (A-B)A - (A-B)B =  - BA - AB + 

很明显，2AB ！= -BA - AB 

永远记住！！！！！！！

矩阵乘法要严格注意AB的先后位置，位置的变化是会影响运算结果的

（因为矩阵的乘法是第一个矩阵的行   乘以    第二个矩阵的列）

但是，对于 =   + AE + EA + 

                   =  - AE - EA + 

                 对于上两式来说，

任何矩阵乘以单位阵E的等于其本身，而对于单位阵来说，左乘和右乘是一样的。

故而，AE = EA , BE =EB

所以：

                   =   + 2AE + 

                   =  - 2AE  + 

                    是成立的！

六、简单的矩阵运算，学到的知识点运用起来。

例如

给两个方程组：x1  = y1 -y2            y1 = z1 + z2 + z3

                         x2 = y1 + y2           y2 = z1 -2z2 + z3

要求x1 和 x2 用z1 z2 z3表示