第六章 矩阵函数

矩阵多项式

$就是f(x)变成了f(A)$
难点在于$A^k$不好算。
解决方案是利用 $Jordan$ 标准型来做。
$$f(A)=Pdiag(f(J_1),f(J_2),\dots ,f(J_r))P^{-1}$$
其中，
f ( J i ) = [ f ( λ i ) f ′ ( λ i ) … 1 ( d i − 1 ) f ( d i − 1 ) ( λ i ) f ( λ i ) ⋱ f ′ ( λ i ) f ( λ i ) ] d i × d i \Large f(J_i)= \left[ \begin{matrix} f(\lambda_i) &f'(\lambda_i)&\dots & \frac{1}{(d_i-1)}f^{(d_i-1)}(\lambda_i) \\ & f(\lambda_i) &\\ & &\ddots & f'(\lambda_i) \\ & & &f(\lambda_i)\\ \end{matrix} \right]_{d_i\times d_i} f(Ji​)= ​f(λi​)​f′(λi​)f(λi​)​…⋱​(di​−1)1​f(di​−1)(λi​)f′(λi​)f(λi​)​ ​di​×di​​

最小多项式

化零多项式：$f(A)=O_{n\times n}$
$f(\lambda )$ ，即A 的特征多项式，也是化零多项式。
定义：已知 $A\in C^{n\times n}$ ，在 $A$ 的化零多项式中，次数最低且首项系数为1的化零多项式称为 $A$ 的最小多
项式，通常记为 $m(\lambda )$

jordan 标准型的$m(\lambda )$ 为$(\lambda -{\lambda }_i{)}^{d_i}$
那整个矩阵A的最小多项式就是$m_1(\lambda ),m_2(\lambda ),\dots ,m_r(\lambda )$的最小公倍式。

求得最小多项式 $m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{d_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{d_2}\dots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{d_s}$
写
$$\begin{gathered} p(x)=a_0+a_{1}x+a_2^2\cdots +a_{m-1}^{m-1}，其中m=\sum _{i=1}^s{d}_i \\ f(x)=p(x) \\ {f}^{(k)}({\lambda }_i)=p^{(k)}({\lambda }_i),i=1,2,\dots ,s;k=1,2,\dots ,d_i-1. \\ 解得a_0.a_1,\dots ,a_{m-1}后: \\ f(A)=a_{m-1}{A}^{m-1}+a_{m-2}{A}^{m-2}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I \end{gathered}$$

求矩阵函数方法一：$求得J和相似变换矩阵P$

求矩阵函数方法二：$利用最小多项式m(\lambda )$

指数矩阵函数和三角矩阵函数：

矩阵函数的幂级数：