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第3章 矩阵特征值与特征向量的计算 数值分析与各种算法的matlab代码

3.3.2 Jacobi旋转法 由于一次正交相似变换A→C=PTAP可将A的两个非对角元素化为零。因此可选一系列正交变换矩阵Pk，对A进行正交相似变换，直至将Ａ化为近似对角矩阵 3.3.3 Jacobi 过关法 3.4 Household方法 Householder方法是计算实对称矩阵A的部分或全部特征值及其特征向量,计算过程是:先利用正交相似变换将A约化为对称的三对角矩阵C,其次应用对分法计算C的特征值,最后计算特征向量. 3.4.1 实对称矩阵的三对角化 Household变换 3.4.2 求对称三对角矩阵特征值的对分法 3.5 QR算法 设 为单位向量,即 称此为Household矩阵，简称H矩阵。 容易验证 H 矩阵是对称的且正交的矩阵，即 由于 且对如何与u 直交的向量v, 都有 因此，对任意 ，可设 ，则其H变换为 若将 中所用与向量u正交的方向视为一个镜面，有上述公式看到，H 变换不改变向量在镜面上的投影，并将向量沿法向量的投影改变为反方向等长度的向量，因此H变换也称为镜面反射变换 由H变换的性质不难知道，对任意非零向量 ， 如果 则必存在H矩阵，使得 事实上，当取 时，即可验证由(3.4.2)式所定义 的矩阵满足 的要求 P83 例3.5 * 第三章????? 矩阵特征值与特征向量的计算 引言 在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特 征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频 率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。 §3.1 乘幂法及其变体 3.1.1 乘幂法 定理 设A ?Rn?n有完全特征向量系，若?1, ?2,…, ?n为A的n个特征值且满足 对任取初始向量x(0) ?Rn，对乘幂公式 确定的迭代序列{xk}，有下述结论： (1)当 时，对i = 1, 2, …, n 收敛速度取决于 的程度，r 越小收敛越快，r ? 1收敛慢， 且x(k)(当k充分大时)为相应于?1的特征向量的近似值。 (2)当 时 a)若?1 = ?2，则主特征值?1及相应特征向量的求法同(1)； 收敛速度取决于 的程度。向量 、 c)若 ，则连续迭代两次，计算出x(k+1)，x(k+2)， 分别为主特征值?1、?2相应的特征向量的近似值。 然后对j = 1, 2, …, n 解方程 b)若?1 = -?2，对i = 1, 2, …, n 求出 、 后，由公式 解出主特征值?1、?2。此时收敛速度取决于 的程度。 向量 、 分别为相应于?1，?2 的特征向量的近似值。 规范化乘幂法 令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使 则 max (x) = xi 对任取初始向量x(0)，记 则 一般地，若已知x(k)，称公式 定理 设A?Rn?n具有完全特征向量系，?1, ?2, …, ?n为A 则对任初始向量x(0)，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列 (1) (2)y(k)为相应于主特征值?1的特征向量近似值 的n个特征值，且满足 y(k)，x(k)满足 3.1.2 反幂法 若 A 有| ?1 | ? | ?2 | ? … > | ?n |，则 A?1 有 1 1 1 1 1 l l l ? …? > - n n A?1 的主特征根 A的绝对值最小的特征根 如何计算 解线性方程组 对应同样一组特征向量。 设A?Rn?n可逆，则无零特征值，由 有 规范化反幂法公式为 如果考虑到利用原点移位加速的反幂法，则记B = A - ?0I， 对任取初始向量x(0)?Rn， 3.1.3 乘幂法的加速(原点位移法) 希望 | ?2 / ?1 | 越小越好。 不妨设 ?1 > ?2 ? … ? ?n ，且 | ?2 | > | ?n |。 取?0(常数)，用矩阵B = A - ?0I 来代替A进行乘幂迭代。 (i = 1, 2, …, n) 设?i (i = 1, 2, …, n)为矩阵B 的特