chpt.1 模型系统的态（2）

要描述一个微粒系统的统计特性，就要知道该系统每一个态所具有的能量。

我们先来看一个最简单能够准确计算出的模型系统——二进制模型系统(binary model systems)。

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二进制模型系统的特点

（i）位于空间里，固定着个截然不同的、独立的“位置”，它们各自占据着空间中属于自己的一部分，相互之间没有重叠和干扰。

（ii）与每一个“位置”绑定在一起的是一个基本磁体。当然你也可以用硬币（“正”或“反”），二进制数（“0”或“1”），文字（“是”或“否”），颜色（“红”或“蓝”）甚至是停车位（“空”或“满”）——任何具有两个截然不同态的元素都可作为“位置”。

（iii）相应地，每一个磁体也只能有两个内禀方向：要么朝上，要么朝下。这两个方向所对应的磁矩则分别为，，即，当磁体朝上时，磁矩为；当磁体朝下时，磁矩为。

（iv）我们通常会将“位置”标序（升序降序都行）。主要是为了避免不同的“位置”在空间中出现重叠。

（例）

（i）

如上图所示，在号“位置”的磁体具有的磁矩为；在号“位置”的磁体具有的磁矩为。这是一个由个绑定在固定“位置”上的基本磁体组成的模型系统。右下角的角标与其所处的“位置”也是绑定的。因为每一个磁体都有两个可能的方向，所以如果有个“位置”，我们将会有种截然不同的放置方式。随机地放置个磁体，得到上面例子放置方式的概率则为。

这是一个拥有10个车位的停车场的态。黑色表示已被车占据，白色表示未被车占据。它的排布与上面例子中的排布相同。

现在考虑有个“位置”（个磁矩），所有可能的放置方式的个数则为：

当每一个“位置”的磁矩都被清楚地掌握时，我们就知道了这个系统的态。所以系统拥有的总的态的个数为。

我们可以借助简单的数学运算法则来表示这个不同的态：

为什么？因为我们发现，当使用了乘法分配律将所有的括号展开后，我们得到了个截然不同的项。其中每一项都有个“位置”，而项与项之间皆由加号连接。加号在这里的表示的不再是一贯所理解的“加和”，而是逻辑中的“或”，所以在上述表达式中更多地作为一种陈列方式。分配律可以帮助我们获得所有可能的组合。

（例）

一个仅含两个磁体的系统（），所有个不同的态可以被表示为：

等式左边的部分称为母函数(generating function)，通过它，我们可以得到系统所有可能的态。

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我们把系统中每一个磁体的合磁矩表示为。在极端情况下，若系统中所有磁体全部被极化（要么全部朝上，要么全部朝下），系统的合磁矩将为，所以。

（例）

（i）

这是一个所含有的个磁体全部被向上极化的系统，它的合磁矩。

（ii）

这是一个拥有两个朝下磁体的系统，它的合磁矩。

不难得出，下列集合包含了所有可能的合磁矩：

由于磁矩的矢量特性，当系统存在一对一上一下的磁体时，它们的合磁矩为零。所以对磁矩总数而言，系统实际上是少了两个磁矩，即只剩下了个。

当为偶数时，合磁矩还将包括“”这一可能，所以所有可能的合磁矩的个数为：

当为奇数时，所以所有可能的合磁矩的个数为：

所以，当，对应合磁矩的总数为，态的总数与之前相同，为。

可见，当，我们有。态的个数将远多于合磁矩的个数。换句话说，合磁矩无法毫无重复地分配至系统的每一个态，所以对于一个含有庞大磁体数的系统（比如），许多不同的态必将具有相同大小的合磁矩。

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