C语言-AOV网与拓扑排序

1. 邻接表：

• 顶点下标查找函数（LocateVex）
• 创建有向图的邻接表（CreateDG）
• 邻接表打印函数（print）

2. 拓扑排序（TopologicalSort）

AOV网与AOE网：

1. AOV网（Activity On Vertex NetWork）：用顶点表示活动，边表示活动发生的 先后关系。

2. AOE网（Activity On Edge NetWork）：在带权有向图中若以顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示该活动持续的时间，AOE网通常用于 估算事件/工程完成的工期（时间）。

3. 关键路径：是从开始点到完成点的 最长路径的长度。路径的长度是边上活动耗费的时间。

4. AOV网络与AOE网络的关系

   从定义上来看，很容易看出两种网的不同，AOV网的活动以顶点表示，而AOE网的活动以有向边来表示，AOV网的有向边仅仅表示活动的先后次序。纵观这两种网图，其实它们总体网络结构是一样的，仅仅是活动所表示的方式不同，因此可以猜想从AOV网转换成AOE网应该是可行的。

   通常AOE网都是和关键路径联系在一起的，在AOE网中我们可以通过关键路径法来计算影响整个工期的关键路径，达到缩短工期的目的。在传统的AOV网中是没有表示活动时间的权值的，因此传统的AOV网无法估算工期，但是如果我们在AOV网中的活动结点上都标上时间属性，那么AOV网就可以完全转换为AOE网。

什么是拓扑排序？

1. 拓扑序列：在AOV网（无环图）中，由顶点V_i到顶点V_j有一条路径，则在该线性序列中的顶点V_i必定在顶点V_j之前。
2. 拓扑排序：将AOV网中的顶点序列排成拓扑序列就叫拓扑排序。
3. 拓扑排序条件：必须是有向无环图（Directed Acycline Graph），AOV网满足有向无环图条件，若是有向成环图，则会进入死循环。

拓扑排序算法思路

• 拓扑排序的执行过程相当于每次 删去入度为0的顶点和这个顶点发射出去的边，那么我们每次删去一个顶点和其发射边，就会生成一个新图，在这个新图上继续执行删去入度为0的顶点和这个顶点发射出去的边，直到所有顶点都被删完。删除每个顶点的顺序，就是拓扑序列。
  

拓扑排序如何实现？

• 对一个顶点而言：拓扑排序主要是对入度为0的顶点做处理，处理的内容包括：1.顶点本身；2.顶点发出的边，去掉顶点的同时要删去这些有向边，也就是要更新当前顶点的邻接顶点的入度。
• 对所有顶点而言：重复执行上述操作，直到把所有入度为0的顶点处理完毕，即拓扑排序完成。

1. 我们首先找到入度为0的顶点，然后对其进行输出，接着根据邻接表的邻接关系，找到与其邻接的其他顶点，再去对其他顶点进行相同的处理，由此往复。
2. 我们需要一个 临时存取空间space，我们每次把入度为0的顶点放入space中，然后按顺序（顺序可以从头开始、从尾开始、甚至可以任意取）从space中取出，然后进行步骤1的处理，再将更新后入度为0的顶点放入space中，直到space中的元素被取空，即拓扑排序结束。
3. 临时存取空间space的存取顺序可以是任意的，所以，这个space可以是栈结构，队列结构，也可以是一个数组，甚至可以是其他（源代码用数组模拟栈结构）。由此可见，存取顺序的不同，直接导致了拓扑排序结果不唯一。
4. 总结一下拓扑排序在程序中的执行流程：首先我们搞了一个临时存储空间space，然后将入度为0的顶点放入space，再按顺序取出，每去取出一次，就根据邻接表的邻接关系，查找当前取出的顶点的邻接点，对每个邻接点入度-1，更新完入度后，看看有没有出现新的入度为0的结点，将其放入space中，直到space为空时，即所有顶点处理完毕，输出的序列就是拓扑序列。

可能产生的疑问

• 问题1：什么原因会导致拓扑序列产生不同的结果？

1. 临时存取空间space的结构、存取方式会直接影响对拓扑排序结果
2. （我给忘了…）

• 问题2：一个顶点会不会被重复放入临时存取空间space中，会不会对一个结点重复访问，是否需要像DFS/BFS那样设置visited数组记录结点访问状态？

1. 在拓扑排序算法中，没有顶点会被多次访问，也不需要visited数组对访问状态记录，每个顶点只访问一次。原因是：拓扑排序的前提是在 有向无环图 中不会存在顶点之间有多分支回路的情况，如果注入水流，水流方向是只能向前的，无法回头，因为不存在环。

• 问题3：待补充

完整源代码：

#include 
#include 
#define VertexType char //顶点的数据类型（char） 
#define VertexMax 20 //最大顶点个数 

typedef struct ArcNode//边表 
{
	int adjvex;//存储的是该顶点在顶点数组即AdjList[]中的位置 
	struct ArcNode *next;
}ArcNode;

typedef struct VNode //顶单个点 
{
	VertexType vertex;
	struct ArcNode *firstarc;
}VNode;

typedef struct //顶点表 
{
	VNode AdjList[VertexMax];//由顶点构成的结构体数组 
	int vexnum,arcnum; //顶点数和边数 
}ALGraph;

int LocateVex(ALGraph *G,VertexType v)
{    
    int i;
	for(i=0;i<G->vexnum;i++)
	{
		if(v==G->AdjList[i].vertex)
		{
			return i;
		}
	}
	
	printf("No Such Vertex!\n");
	return -1;
}

//有向图 
void CreateDG(ALGraph *G)
{
	int i,j;
	//1.输入顶点数和边数 
	printf("输入顶点个数和边数：\n");
	printf("顶点数 n="); 
	scanf("%d",&G->vexnum);
	printf("边  数 e="); 
	scanf("%d",&G->arcnum);
	printf("\n"); 
	
	printf("\n");
	//2.顶点表数据域填值初始化顶点表指针域 
	printf("输入顶点元素(用空格隔开)：");
	for(i=0;i<G->vexnum;i++)
	{
		scanf(" %c",&G->AdjList[i].vertex);
		G->AdjList[i].firstarc=NULL;
	} 
	printf("\n");
	
	//3.输入边信息构造邻接表 
	int n,m;
	VertexType v1,v2;
	ArcNode *p1,*p2; 
	
	printf("请输入边的信息：\n\n"); 
	for(i=0;i<G->arcnum;i++)
	{   //输入边信息，并确定v1和v2在G中的位置，即顶点在AdjList[]数组中的位置（下标）  
		printf("输入第%d条边信息：",i+1); 
		scanf(" %c%c",&v1,&v2);
		n=LocateVex(G,v1);
		m=LocateVex(G,v2);
		
		if(n==-1||m==-1)
		 {
		 	printf("NO This Vertex!\n");
		 	return;
		 } 
		
		p1=(ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
		p1->adjvex=m;//填上坐标 
		p1->next=G->AdjList[n].firstarc;//改链（头插法）  
		G->AdjList[n].firstarc=p1;
	
	}//for  
} 

void print(ALGraph G)
{
	int i;
	ArcNode *p;
	printf("\n-------------------------------");
	printf("\n图的邻接表表示：\n");
	
	for(i=0;i<G.vexnum;i++)
	{
		printf("\n   AdjList[%d]%4c",i,G.AdjList[i].vertex);
		p=G.AdjList[i].firstarc;
		
		while(p!=NULL)
		{
			printf("-->%d",p->adjvex);
			p=p->next;
		}
	 } 
	 printf("\n");
} 

void TopologicalSort(ALGraph *G)
{//文中说的space就是此处的栈结构
 //此处的栈结构我用的是数组来模拟的（因为我懒）
	int i;
	int top=-1;//栈顶指针 
	int Gettop;//用于存储/获取栈的栈顶元素 
	int count=0;//用于统计拓扑排序生成的结点数（若生成结点数 < 图的结点数，则代表图中有环，拓扑排序不成功） 
	int stack[VertexMax]={0};//栈 
	int indegree[VertexMax]={0};//入度数组 
	struct ArcNode *p;//临时变量 
	
	//1.计算顶点入度，并存入indegree数组中
    for(i=0;i<G->vexnum;i++)
     {
     	if(G->AdjList[i].firstarc!=NULL)
     	{
     		p=G->AdjList[i].firstarc;
     		while(p!=NULL)
     		{
     			indegree[p->adjvex]++;
     			p=p->next;
			}
		}
	 }
     
    //2.初始化部分：将初始入度为0的顶点入栈
	for(i=0;i<G->vexnum;i++)
	{
		if(indegree[i]==0)
		{
			stack[++top]=i;//先将指针加一在进行存储 
		}	
	} 
    
    //3.拓扑排序
	while(top!=-1)//栈不为空 
	{
		Gettop=stack[top--];//获取栈顶元素，并且栈顶指针减一 
		printf(" %c",G->AdjList[Gettop].vertex);//输出栈顶元素 
		count++;
		 
		p=G->AdjList[Gettop].firstarc; 
		while(p!=NULL)
		{
			indegree[p->adjvex]--;
			
			if(indegree[p->adjvex]==0)
			{
				stack[++top]=p->adjvex;
			}
			p=p->next;
		}
	} 
	
	//4.判断拓扑排序是否成功（生成结点数 < 图的结点数，则代表图中有环，拓扑排序不成功） 
	if(count<G->vexnum) 
	   printf("TopologicalSort Failed!\n");
	else return;     
}

int main() 
{
	ALGraph G;
	CreateDG(&G); 
	print(G);
	printf("\n拓扑排序结果："); 
	TopologicalSort(&G);
	
	return 0;
}

执行结果

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参考：

1. AOV网与AOE网部分内容参考自：AOV网络与AOE网络——lx青萍之末
2. 参考教材：严蔚敏数据结构（C语言版||第二版）