[Note]对于补码的思考

补码是什么？

       我想先举一个例子，二进制中，假设我们用3个位表示3，对应二进制是011，2对应的二进制是010，2+3，对应的是011+010=101，对应的二进制是5。

       可以看到，在不溢出的情况下，加法在二进制中是显然成立的。那么，怎么计算减法呢？

在以前做数学题的时候，老师告诉过我一个特别有用的方法，那就是，遇到一个不会的问题的时候，就想办法把它转化成一个已经解决过的问题，然后用同样的方法解决它。运用这个方法论，我想把减法也转化成加法。

那么，怎么将减法转化成加法呢？例如，怎么把3-2=1转化呢？3加上一个什么数会等于1？为了得到答案，对3的二进制011进行研究，发现了，011+001=100，100+001=101，101+001=110，110+001=111，持续递增，在111+001=000，000+001=001，这里，数据虽然溢出了，但是011在连续加了6个1之后，等于了001。

所以，011+110=001，此时，用加法就实现了减法，依靠了溢出的机制。实现了减法，那么补码自然而然就出现了，3-2=3+(-2)，为了表示-2，需要用补码来表示它，科学家规定-2的补码一定要保留110这个code，因为它方便用于计算。为了将它和6的二进制区分开，多增加一个bit，写成1_110，最高位为1时表示-2，为0时表示6。

验证一下，+3+(-2)=0_011+1_110=0_001，满足数学要求。

因此，补码的出现，其实是依靠了溢出的机制，计算x+(-y)，应该说是先让第一个乘数x溢出，然后再加x-y+1，得到补码，所以，  (7-x)+(x-y+1)=8-y，因此-2的补码等于8-2=6，二进制1_110，-7的补码等于8-7=1，二进制1_001。

我们常说补码是源码取反加1，实际上取反，就是7-y的操作，取反加1就是7-y+1，等于8-y。

补码的英文是two's complement，对应的意思我猜测是“2^n的补充“， 正如在使用3bit的位数时，补码是2^3-y。

反码的英文是 One's complement，这是因为原码加上反码得到的是全为 1 的二进制，所以这个翻译的意思就是原码相对于全 1 的编码的补，也就是字面意思。

补码的英文是 Two's complement，一个 n 位的二进制数，其模为 $2^n$，一个负数 m 的补码即为 $2^n + m$，所以这里的翻译就是相对于模来说的。