【一种用opencv实现高斯曲线拟合的方法】

背景：

项目中需要实现数据的高斯拟合，进而提取数据中标准差，手头只有opencv库，经过资料查找验证，总结该方法。

基础知识：

1、opencv中solve可以实现对矩阵参数的求解；
2、线的拟合就是对多项式参数求解的过程，多项式可表示为矩阵形式；
3、高斯公式中的指数幂，可以通过取对数的方式转变成多项式的形式；
求解思路：
高斯公式->多项式公式->矩阵参数->调用solve求解；

实现过程及代码

1、确定所选的高斯公式形式

G(x)=a*exp(-((x-b)/c)^2);

2、对于给定的输入x1 ~ xn,有对输出y1 ~ yn。可以形成如下等式：

对等式左右两边取对数，并进行变换，可形成如下形式

这里，就形成了AX^2+BX+C=Y的形式，其中

用A,B,C替换后后，原等式可写作

此时，我们只需要计算出A,B,C的值，再通过ABC与abc的关系即可得到abc的值。(请读者自行推导abc的公式，或见代码部分)

得到如上的多项式的形式后，直接构造参数矩阵，调用cv::solve(X,Y,A‘)接口，即可得到参数矩阵A’，其中即含有A,B，C的值。

上代码：

基础定义：

typedef struct StructMultinomialParamt
{
    double dB0;//多项式拟合的参数,数字表示幂次
    double dB1;
    double dB2;
}S_MULTNMNL_PARAMT;
typedef struct StructGaussParamT
{
    double dA;//指定的高斯参数
    double dB;//中心点
    double dC;//标准差
}S_GAUS_PARAMT;
void Gauss(S_GAUS_PARAMT sGsParamm, cv::Mat mX, cv::Mat& mY)
{
    cv::Mat mRslt = Mat::zeros(mX.size(), mX.type());
    double dx = 0;
    for (double i = 0.; i < mX.cols; i++)
    {
        for (double j = 0.; j < mX.rows; j++)
        {
            dx = mX.at<double>(j, i);
            mRslt.at<double>(j, i) = sGsParamm.dA * exp(-(pow((dx - sGsParamm.dB) / sGsParamm.dC, 2)));
        }
    }
    mY = mRslt;
    return;
}

高斯参数求解函数

void GaussFitT(cv::Mat mX, cv::Mat mY, S_GAUS_PARAMT* psGsParamm)
{
    //step1 构造参数矩阵mx与my
    cv::Mat X = Mat::zeros(mX.rows, 3, CV_64FC1);
    for (size_t i = 0; i < mX.rows; i++)
    {
        for (size_t J = 0; J < 3; J++)
        {
            X.at<double>(i, J) = pow(mX.at<double>(i, 0), 2 - J);
        }
    }
    cv::log(mY, mY);//对结果取对数
    //step2 多项式拟合
    cv::Mat A;//参数矩阵
    cv::solve(X, mY, A, cv::DECOMP_SVD);
    S_MULTNMNL_PARAMT sBparam;
    sBparam.dB2 = A.at<double>(0);
    sBparam.dB1 = A.at<double>(1);
    sBparam.dB0 = A.at<double>(2);

    //step3 高斯参数计算ABC-》abc
    psGsParamm->dA = exp(sBparam.dB0 - pow(sBparam.dB1, 2) / (4 * sBparam.dB2));
    psGsParamm->dB = -sBparam.dB1 / (2 * sBparam.dB2);
    psGsParamm->dC = sqrt(-1 / sBparam.dB2);

    return;
}

# 测试代码

double dX[50];//输入数据X
double dY[50];//输入数据Y
std::vector<cv::Point> pointsOri;

for (int i = 0; i < 50; i++)
{

    dX[i] = double(i);
    dY[i] = -0.5 * pow((dX[i] - 25), 2) + 320 + i;
    pointsOri.push_back(cv::Point(dX[i], dY[i]));
}
//转换成求解函数输入需要的数据格式
cv::Mat mGsInputX = Mat::zeros(50, 1, CV_64FC1);
cv::Mat mGsInputY = Mat::zeros(50, 1, CV_64FC1);
for (size_t i = 0; i < 50; i++)
{
    mGsInputX.at<double>(i) = dX[i];
    mGsInputY.at<double>(i) = dY[i];
}

S_GAUS_PARAMT sGsParamm;//求解结果
GaussFitT(mGsInputX, mGsInputY, &sGsParamm);

//结果对比
Mat mGsOutputY;
Gauss(sGsParamm, mGsInputX, mGsOutputY);
std::vector<cv::Point> pointsNew;//拟合结果
for (int i = 0; i < 50; i++)
{
    pointsNew.push_back(cv::Point(dX[i], mGsOutputY.at<double>(i)));
}
cv::Mat img(450, 60, CV_8UC3, cv::Scalar(0, 0, 0));
cv::polylines(img, std::vector<std::vector<cv::Point>>{pointsOri}, false, cv::Scalar(0, 0, 255), 2);
cv::polylines(img, std::vector<std::vector<cv::Point>>{pointsNew}, false, cv::Scalar(255, 255, 255), 0.5);

// 显示图像
cv::imshow("Line Chart", img);
cv::waitKey(0);

运行输出

红色的为原始数据分布，白色的为拟合计算结果。
而我需要的标准差，则为sGsParamm.dC。

参考:https://blog.csdn.net/guangjie2333/article/details/115629152
https://blog.csdn.net/KYJL888/article/details/103073956
https://blog.csdn.net/qq_35097289/article/details/103910984

后记：

调用solve的接口求解时，OPENCV提供了以下六种方式以对应不同的情况。对于多项式的求解，也可以采用最小二乘法的逼近，不再调用solve方法，这块后面再填坑吧。

cv::DECOMP_LU 高斯消元法（LU分解）
cv::DECOMP_SVD 奇异值分解（SVD）
cv::DECOMP_CHOLESKY 对于对称正定矩阵
cv::DECOMP_EIG 特征值分解，只用于对称矩阵
cv::DECOMP_QR QR因式分解
cv::DECOMP_NORMAL 可选附加标志，表示要求解标准方程