数据结构—图的定义及基本术语

目录

图的定义

图的基本术语

(1)子图:

(2)无向完全图和有向完全图:

(3)稀疏图和稠密图:

(4)权和网:

(5)邻接点:

(6)度、入度和出度:

(7)路径和路径长度:

(8)回路或环:

(9)简单路径、简单回路或简单环:

(10)连通、连通图和连通分量:

(11)强连通图和强连通分量:

(12)连通图的生成树:

(13)有向树和生成森林:

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图的定义

图(Graph)G由两个集合V和E组成，记为G=(VE)

1、其中V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。

2、V(G)和E(G)通常分别表示图G的顶点集合和边集合，E(G)可以为空集。

3、对于图G，若边集E(G)为有向边的集合，则称该图为有向图;若边集E(G)为无向边的集合，则称该图为无向图。

4、在有向图中，顶点对是有序的，它称为从顶点x到顶点y的一条有向边。因此，与是不同的两条边。对而言，x是有向边的始点，y是有向边的终点。也称作一条弧，则x为弧头，y为弧尾。

5、在无向图中，顶点对(x，y)是无序的，它称为与顶点x和顶点y相关联的一条边。这条边没有特定的方向，(x,y)与(y,x)是同一条边。为了有别于有向图，无向图的顶点对用一对圆括号括起来。

图的基本术语

用n表示图中顶点数目，用e表示边的数目
(1)子图:

假设有两个图G=(v，E)和G'=(v，E)，且v'∈v且E'∈E则称G'为G的子图。

(2)无向完全图和有向完全图:

对于无向图，若具有n(n-1)/2条边，则称为无向完全图。对于有向图，若具有n(n-1)条弧，则称为有向完全图。

(3)稀疏图和稠密图:

有很少条边或弧(如e

(4)权和网:

在实际应用中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边上的权值。这些权值可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网。

(5)邻接点:

对于无向图G，如果图的边(v，v')E，则称顶点v和v'互为邻接点，即v和v'相邻接。边(v，v')依附于顶点v和v’，或者说边(v，v')与顶点v和v’相关联。

(6)度、入度和出度:

顶点v的度是指和v相关联的边的数目，记为TD(v)。

对于有向图，顶点v的度分为入度和出度：

①入度是以顶点v为头的弧的数目，记为ID(v);

②出度是以顶点v为尾的弧的数目，记为OD(v)。

顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)。

(7)路径和路径长度:

①在无向图G中，从顶点v到顶点v’的路径是一个顶点序列。

②如果G是有向图，则路径也是有向的，

③路径长度是一条路径上经过的边或弧的数目。

(8)回路或环:

第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。

(9)简单路径、简单回路或简单环:

序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。

除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

(10)连通、连通图和连通分量:

在无向图G中，如果从顶点v到顶点v'有路径，则称 v和v’是连通的。

如果对于图中任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图。

所谓连通分量，指的是无向图中的极大连通子图。

(11)强连通图和强连通分量:

在有向图G中，如果对于每一对vi，vj∈V，vi≠vj，从vi到vj，和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。

(12)连通图的生成树:

一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边，这样的连通子图称为连通图的生成树。

如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。

一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图。如果它多于n-1条边，则一定有环。但是，有n-1条边的图不一定是生成树。

(13)有向树和生成森林:

有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图称为有向树。

一个有向图的生成森林是由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。