地下城游戏 leetcode 174

题目

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1：
输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：
输入：dungeon = [[0]]
输出：1
提示：
m == dungeon.length
n == dungeon[i].length
1 <= m, n <= 200
-1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

思路

1. 路径问题，利用动态规划解题
2. 新建dp表，确定填表顺序、初始化以及返回值

要点

一. 状态表达式（参照力扣官方题解）

1. dp[i][j]表示到达(i,j)位置所需的健康值时为什么不行？

从 (0,0)到 (1,2)有多条路径，取其中最有代表性的两条：

在上图中，我们知道应该选取绿色路径，因为蓝色路径的路径和太小，使得蓝色路径需要增大初始值到 4 才能走到终点，而绿色路径只要 3 点初始值就可以直接走到终点。但是如果把终点的 −2 换为 0，蓝色路径只需要初始值 2，绿色路径仍然需要初始值 3，最优决策就变成蓝色路径了。

因此，如果按照从左上往右下的顺序进行动态规划，我们无法直接确定到达 (1,2)的方案，因为前方的路径选择（剩余健康点）和后方的路径选择（初始化健康点）两个参数同时影响后续的决策。也就是说，这样的动态规划是不满足「无后效性」的。

于是考虑从右下往左上进行动态规划。令 dp[i][j] 表示从坐标 (i,j)到终点所需的最小初始值。

2. 确定状态表达式

1. 以最近的一步确定状态表达式，从坐标 (i,j)到终点，最近的一步：要么往下走，要么往右走。
2. 往右走：(i,j)位置的最低健康点数（初始化值）加上(i,j)位置的dungeon[i][j]对健康值的影响需要大于等于(i,j+1)位置的最低健康点数，这样才能顺利通过下一个位置到达终点。则有dp[i][j] + dungeon[i][j] >= dp[i][j+1]，即dp[i][j] >= dp[i][j+1] - dungeon[i][j]
3. 往下走：同理，(i,j)位置的最低健康点数（初始化值）加上(i,j)位置的dungeon[i][j]对健康值的影响需要大于等于(i+1,j)位置的最低健康点数，这样才能顺利通过下一个位置到达终点。则有dp[i][j] + dungeon[i][j] >= dp[i+1][j]，即dp[i][j] >= dp[i+1][j] - dungeon[i][j]

二、状态转移方程

1. 综上两种情况，(i,j)位置的最低健康点数dp[i][j]应该等于两种情况的最小值，dp[i][j] = Math.min(dp[i][j+1],dp[i+1][j]) - dungeon[i][j]
2. 观察上面状态转移方程，当dungeon[i][j]的值很大时，最小初始化值dp[i][j]可能为负数。也就是说，(i,j)位置有一个超级大的魔法球（血包），即使最小初始化值dp[i][j]为负数，吃了血包之后依旧可以通过下一个位置到达终点。但是这是不符合实际要求的，那么最小初始化值dp[i][j]需要对1求max，保证最小初始化值dp[i][j]至少为1。
3. dp[i][j] = Math.max(Math.min(dp[i][j+1],dp[i+1][j]) - dungeon[i][j],1)

三、初始化

1. 根据上述状态转移方程，dp[i][j]的值受右方dp[i][j+1]和下方dp[i+1][j]的值影响，为了保证数组不越界，需要在dp表的最右方和最下方新增一列、一行。
2. 和题目相同示例（索引从0开始），终点为(2,2)，dungeon[2][2]值为-2。要保证救出公主后，仍有健康点（最少仍有一点健康值），dp[2][3]和dp[3][2]的值应该为1。
3. 新增的一行一列位置不能被骑士作为路径选择，路径选择的依据是Math.min(dp[i][j+1],dp[i+1][j])，也即新增位置的值对min()函数取结果时不能被算上。那么新增的位置就可设置为无穷大，不会对正常路径造成影响。
4. 因为是在最右方和最下方新增虚拟位置，dp表索引和dungeon[i][j]的索引相同
   

四、填表顺序

根据状态转移方程可知，dp[i][j]的值依赖于下方dp[i+1][j]和右方dp[i][j+1]的值，填表时需要先求出这部分的值，那么填表的顺序应该为从下往上，从右往左

五、返回值

dp[i][j] 表示从坐标 (i,j)到终点所需的最小初始值，那么返回值应该为dp[0][0]

代码

    public int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
        int m = dungeon.length,n = dungeon[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];  //1.新建dp表

        for(int i = 0;i <= m;i ++) dp[i][n] = Integer.MAX_VALUE;  //2.初始化   初始化最右一列
        for(int i = 0;i <= n;i ++) dp[m][i] = Integer.MAX_VALUE;  //          初始化最下一行
        dp[m - 1][n] = dp[m][n - 1] = 1;                          //          初始化特殊两个位置

        for(int i = m - 1;i >= 0;i --){  //3. 填表顺序   从下往上
            for(int j = n - 1;j >= 0;j --){  //         从右往左
                dp[i][j] = Math.max(Math.min(dp[i][j+1],dp[i+1][j]) - dungeon[i][j],1);
            }
        }

        return dp[0][0];  //4.确定返回值
    }