递推与递归练习题
公众号：编程驿站
题目来源于洛谷！
数楼梯
题目描述
楼梯有 N 阶，上楼可以一步上一阶，也可以一步上二阶。
编一个程序，计算共有多少种不同的走法。
输入格式
一个数字，楼梯数。
输出格式
输出走的方式总数。
样例 #1
样例输入 #1
4
样例输出 #1
5
提示
- 对于
60\%的数据，N <=q 50； - 对于
100\%的数据，1 <= N <=q 5000。
[NOIP2002 普及组] 过河卒
题目描述
棋盘上 A 点有一个过河卒，需要走到目标 B 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 C 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。
棋盘用坐标表示，A 点 (0, 0)、B 点 (n, m)，同样马的位置坐标是需要给出的。
现在要求你计算出卒从 A 点能够到达 B 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。
输入格式
一行四个正整数，分别表示 B 点坐标和马的坐标。
输出格式
一个整数，表示所有的路径条数。
样例 #1
样例输入 #1
6 6 3 3
样例输出 #1
6
提示
对于 100 \% 的数据，1 <= n, m <= 20，0 <= 马的坐标 <= 20。
【题目来源】
NOIP 2002 普及组第四题
[NOIP2003 普及组] 栈
题目背景
栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。
栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。
栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。
题目描述
宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,\ldots ,n（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 n。
现在可以进行两种操作，
- 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
- 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）
使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。
（原始状态如上图所示）
你的程序将对给定的 n，计算并输出由操作数序列 1,2,\ldots,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。
输入格式
输入文件只含一个整数 n（1 <=q n <=q 18）。
输出格式
输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。
样例 #1
样例输入 #1
3
样例输出 #1
5
提示
【题目来源】
NOIP 2003 普及组第三题
[NOIP2001 普及组] 数的计算
题目描述
给出正整数 n，要求按如下方式构造数列：
- 只有一个数字
n的数列是一个合法的数列。 - 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。
请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 a, b 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 i <=q |a|，使得 a_i \neq b_i。
输入格式
输入只有一行一个整数，表示 n。
输出格式
输出一行一个整数，表示合法的数列个数。
样例 #1
样例输入 #1
6
样例输出 #1
6
提示
样例 1 解释
满足条件的数列为：
66, 16, 26, 36, 2, 16, 3, 1
数据规模与约定
对于全部的测试点，保证 1 <=q n <=q 10^3。
说明
本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：
我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数
n）。先输入一个正整数
n（n <= 1000），然后对此正整数按照如下方法进行处理：
- 不作任何处理；
- 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
- 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。
Function
题目描述
对于一个递归函数 w(a,b,c)
- 如果
a <= 0或b <= 0或c <= 0就返回值1。 - 如果
a>20或b>20或c>20就返回w(20,20,20) - 如果
abw(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c)。 - 其它的情况就返回
w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1)
这是个简单的递归函数，但实现起来可能会有些问题。当 a,b,c 均为 15 时，调用的次数将非常的多。你要想个办法才行。
注意：例如 w(30,-1,0) 又满足条件 1 又满足条件 2，请按照最上面的条件来算，答案为 1。
输入格式
会有若干行。
并以 -1,-1,-1 结束。
输出格式
输出若干行，每一行格式：
w(a, b, c) = ans
注意空格。
样例 #1
样例输入 #1
1 1 1
2 2 2
-1 -1 -1
样例输出 #1
w(1, 1, 1) = 2
w(2, 2, 2) = 4
提示
数据规模与约定
保证输入的数在 [-9223372036854775808,9223372036854775807] 之间，并且是整数。
保证不包括 -1, -1, -1 的输入行数 T 满足 1 <=q T <=q 10 ^ 5。
外星密码
题目描述
有了防护伞，并不能完全避免 2012 的灾难。地球防卫小队决定去求助外星种族的帮助。经过很长时间的努力，小队终于收到了外星生命的回信。但是外星人发过来的却是一串密码。只有解开密码，才能知道外星人给的准确回复。解开密码的第一道工序就是解压缩密码，外星人对于连续的若干个相同的子串 \texttt{X} 会压缩为 \texttt{[DX]} 的形式（D 是一个整数且 1<=q D<=q99），比如说字符串 \texttt{CBCBCBCB} 就压缩为 \texttt{[4CB]} 或者\texttt{[2[2CB]]}，类似于后面这种压缩之后再压缩的称为二重压缩。如果是 \texttt{[2[2[2CB]]]} 则是三重的。现在我们给你外星人发送的密码，请你对其进行解压缩。
输入格式
输入一行，一个字符串，表示外星人发送的密码。
输出格式
输出一行，一个字符串，表示解压缩后的结果。
样例 #1
样例输入 #1
AC[3FUN]
样例输出 #1
ACFUNFUNFUN
提示
【数据范围】
对于 50\% 的数据：解压后的字符串长度在 1000 以内，最多只有三重压缩。
对于 100\% 的数据：解压后的字符串长度在 20000 以内，最多只有十重压缩。保证只包含数字、大写字母、[ 和 ]。
蜜蜂路线
题目背景
无
题目描述
一只蜜蜂在下图所示的数字蜂房上爬动,已知它只能从标号小的蜂房爬到标号大的相邻蜂房,现在问你：蜜蜂从蜂房 m 开始爬到蜂房 n，mn-1）
输入格式
输入 m,n 的值
输出格式
爬行有多少种路线
样例 #1
样例输入 #1
1 14
样例输出 #1
377
提示
对于100%的数据，1 <= M,N<= 1000
小A点菜
题目背景
uim 神犇拿到了 uoi 的 ra（镭牌）后，立刻拉着基友小 A 到了一家……餐馆，很低端的那种。
uim 指着墙上的价目表（太低级了没有菜单），说：“随便点”。
题目描述
不过 uim 由于买了一些书，口袋里只剩 M 元 (M <= 10000)。
餐馆虽低端，但是菜品种类不少，有 N 种 (N <= 100)，第 i 种卖 a_i 元 (a_i <= 1000)。由于是很低端的餐馆，所以每种菜只有一份。
小 A 奉行“不把钱吃光不罢休”，所以他点单一定刚好把 uim 身上所有钱花完。他想知道有多少种点菜方法。
由于小 A 肚子太饿，所以最多只能等待 1 秒。
输入格式
第一行是两个数字，表示 N 和 M。
第二行起 N 个正数 a_i（可以有相同的数字，每个数字均在 1000 以内）。
输出格式
一个正整数，表示点菜方案数，保证答案的范围在 int 之内。
样例 #1
样例输入 #1
4 4
1 1 2 2
样例输出 #1
3
提示
2020.8.29，增添一组 hack 数据 by @yummy
[NOIP2002 普及组] 选数
题目描述
已知 n 个整数 x_1,x_2,\cdots,x_n，以及 1 个整数 k（kn 个整数中任选 k 个整数相加，可分别得到一系列的和。例如当 n=4，k=3，4 个整数分别为 3,7,12,19 时，可得全部的组合与它们的和为：
3+7+12=22
3+7+19=29
7+12+19=38
3+12+19=34
现在，要求你计算出和为素数共有多少种。
例如上例，只有一种的和为素数：3+7+19=29。
输入格式
第一行两个空格隔开的整数 n,k（1 <= n <= 20，k
第二行 n 个整数，分别为 x_1,x_2,\cdots,x_n（1 <= x_i <= 5\times 10^6）。
输出格式
输出一个整数，表示种类数。
样例 #1
样例输入 #1
4 3
3 7 12 19
样例输出 #1
1
提示
【题目来源】
NOIP 2002 普及组第二题
覆盖墙壁
题目描述
你有一个长为 N 宽为 2 的墙壁，给你两种砖头：一个长 2 宽 1，另一个是 L 型覆盖 3 个单元的砖头。如下图：
0 0
0 00
砖头可以旋转，两种砖头可以无限制提供。你的任务是计算用这两种来覆盖 N\times 2 的墙壁的覆盖方法。例如一个 2\times3 的墙可以有 5 种覆盖方法，如下：
012 002 011 001 011
012 112 022 011 001
注意可以使用两种砖头混合起来覆盖，如 2\times4 的墙可以这样覆盖：
0112
0012
给定 N，要求计算 2\times N 的墙壁的覆盖方法。由于结果很大，所以只要求输出最后 4 位。例如 2\times 13 的覆盖方法为 13465，只需输出 3465 即可。如果答案少于 4 位，就直接输出就可以，不用加前导 0，如 N=3 时输出 5。
输入格式
一个整数 N，表示墙壁的长。
输出格式
输出覆盖方法的最后 4 位，如果不足 4 位就输出整个答案。
样例 #1
样例输入 #1
13
样例输出 #1
3465
提示
数据保证，1<=q N<=q 1000000。
[USACO17JAN] Secret Cow Code S
题面翻译
奶牛正在试验秘密代码，并设计了一种方法来创建一个无限长的字符串作为其代码的一部分使用。
给定一个字符串，让后面的字符旋转一次（每一次正确的旋转，最后一个字符都会成为新的第一个字符）。也就是说，给定一个初始字符串，之后的每一步都会增加当前字符串的长度。
给定初始字符串和索引，请帮助奶牛计算无限字符串中位置 N 的字符。
第一行输入一个字符串。该字符串包含最多 30 个大写字母，数据保证 N <=q 10^{18} 。
第二行输入 N。请注意，数据可能很大，放进一个标准的 32 位整数可能不够，所以你可能要使用一个 64 位的整数类型（例如，在 C/C++ 中是 long long）。
请输出从初始字符串生成的无限字符串中的位置的字符。第一个字符是 N=1.。
感谢@y_z_h 的翻译
题目描述
The cows are experimenting with secret codes, and have devised a method for creating an infinite-length string to be used as part of one of their codes.
Given a string s, let F(s) be s followed by s “rotated” one character to the right (in a right rotation, the last character of s rotates around and becomes the new first character). Given an initial string s, the cows build their infinite-length code string by repeatedly applying F; each step therefore doubles the length of the current string.
Given the initial string and an index N, please help the cows compute the character at the Nth position within the infinite code string.
输入格式
The input consists of a single line containing a string followed by N. The string consists of at most 30 uppercase characters, and N <=q 10^{18}.
Note that N may be too large to fit into a standard 32-bit integer, so you may want to use a 64-bit integer type (e.g., a “long long” in C/C++).
输出格式
Please output the Nth character of the infinite code built from the initial string. The first character is N=1.
样例 #1
样例输入 #1
COW 8
样例输出 #1
C
提示
In this example, the initial string COW expands as follows:
COW -> COWWCO -> COWWCOOCOWWC
12345678
黑白棋子的移动
题目描述
有 2n 个棋子排成一行，开始为位置白子全部在左边，黑子全部在右边，如下图为 n=5 的情况：
移动棋子的规则是：每次必须同时移动相邻的两个棋子，颜色不限，可以左移也可以右移到空位上去，但不能调换两个棋子的左右位置。每次移动必须跳过若干个棋子（不能平移），要求最后能移成黑白相间的一行棋子。如 n=5 时，成为：
任务：编程打印出移动过程。
输入格式
一个整数 n。
输出格式
若干行，表示初始状态和每次移动的状态，用 \verb!o! 表示白子，\verb!*! 表示黑子，\verb!-! 表示空行。
样例 #1
样例输入 #1
7
样例输出 #1
ooooooo*******--
oooooo--******o*
oooooo******--o*
ooooo--*****o*o*
ooooo*****--o*o*
oooo--****o*o*o*
oooo****--o*o*o*
ooo--***o*o*o*o*
ooo*o**--*o*o*o*
o--*o**oo*o*o*o*
o*o*o*--o*o*o*o*
--o*o*o*o*o*o*o*
提示
4<=q n<=q 100
[NOIP1998 普及组] 幂次方
题目描述
任何一个正整数都可以用 2 的幂次方表示。例如 137=2^7+2^3+2^0 。
同时约定次方用括号来表示，即 a^b 可表示为 a(b)。
由此可知，137 可表示为 2(7)+2(3)+2(0)
进一步：
7= 2^2+2+2^0 ( 2^1 用 2 表示)，并且 3=2+2^0。
所以最后 137 可表示为 2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)。
又如 1315=2^{10} +2^8 +2^5 +2+1
所以 1315 最后可表示为 2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)。
输入格式
一行一个正整数 n。
输出格式
符合约定的 n 的 0, 2 表示（在表示中不能有空格）。
样例 #1
样例输入 #1
1315
样例输出 #1
2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)
提示
【数据范围】
对于 100\% 的数据，1 <= n <= 2 \times {10}^4。
NOIP1998 普及组 第三题
地毯填补问题
题目描述
相传在一个古老的阿拉伯国家里，有一座宫殿。宫殿里有个四四方方的格子迷宫，国王选择驸马的方法非常特殊，也非常简单：公主就站在其中一个方格子上，只要谁能用地毯将除公主站立的地方外的所有地方盖上，美丽漂亮聪慧的公主就是他的人了。公主这一个方格不能用地毯盖住，毯子的形状有所规定，只能有四种选择（如图）：
并且每一方格只能用一层地毯，迷宫的大小为 2^k\times 2^k 的方形。当然，也不能让公主无限制的在那儿等，对吧？由于你使用的是计算机，所以实现时间为 1 秒。
输入格式
输入文件共 2 行。
第一行一个整数 k，即给定被填补迷宫的大小为 2^k\times 2^k（0\lt k<=q 10）；
第二行两个整数 x,y，即给出公主所在方格的坐标（x 为行坐标，y 为列坐标），x 和 y 之间有一个空格隔开。
输出格式
将迷宫填补完整的方案：每一补（行）为 x\ y\ c（x,y 为毯子拐角的行坐标和列坐标，c 为使用毯子的形状，具体见上面的图 1，毯子形状分别用 1,2,3,4 表示，x,y,c 之间用一个空格隔开）。
样例 #1
样例输入 #1
3
3 3
样例输出 #1
5 5 1
2 2 4
1 1 4
1 4 3
4 1 2
4 4 1
2 7 3
1 5 4
1 8 3
3 6 3
4 8 1
7 2 2
5 1 4
6 3 2
8 1 2
8 4 1
7 7 1
6 6 1
5 8 3
8 5 2
8 8 1
提示
spj 报错代码解释：
c越界；x,y越界；(x,y)位置已被覆盖；(x,y)位置从未被覆盖。
\text{upd 2023.8.19}：增加样例解释。
样例解释
南蛮图腾
题目背景
自从到了南蛮之地，孔明不仅把孟获收拾的服服帖帖，而且还发现了不少少数民族的智慧，他发现少数民族的图腾往往有着一种分形的效果，在得到了酋长的传授后，孔明掌握了不少绘图技术，但唯独不会画他们的图腾，于是他找上了你的爷爷的爷爷的爷爷的爷爷……帮忙，作为一个好孙子的孙子的孙子的孙子……你能做到吗？
题目描述
给定一个正整数 n，参考输出样例，输出图形。
输入格式
每个数据输入一个正整数 n，表示图腾的大小（此大小非彼大小）
输出格式
这个大小的图腾
样例 #1
样例输入 #1
2
样例输出 #1
/\
/__\
/\ /\
/__\/__\
样例 #2
样例输入 #2
3
样例输出 #2
/\
/__\
/\ /\
/__\/__\
/\ /\
/__\ /__\
/\ /\ /\ /\
/__\/__\/__\/__\
提示
数据保证，1 <=q n <=q 10。