【数据结构入门精讲 | 第九篇】考研408排序算法专项练习（一）

前面几篇文章介绍的是排序算法，现在让我们开始排序算法的专项练习。

判断题

1.希尔排序是稳定的算法。（错）
解析：稳定性是指如果两个元素在排序前后的相对顺序保持不变，那么这个排序算法就是稳定的。对于具有相同关键字的元素，排序后它们的相对位置应该保持不变。

2.仅基于比较的算法能得到的最好的“最坏时间复杂度”是O(NlogN)。（对）

3.对N个记录进行归并排序，归并趟数的数量级是O(NlogN)。（错）
答案：O(logN)

4.对N个不同的数据采用冒泡排序进行从大到小的排序，当元素基本有序时交换元素次数肯定最多。（错）
解析：当元素已经基本有序时，冒泡排序的时间复杂度会变得比较低，因为只需要进行少量的交换操作就可以将序列排好序。

5.插入排序算法在每一趟都能选取出一个元素放在其最终的位置上。 （错）
解析：每次插入操作只会将一个元素插入到已经排序好的子序列中，而不是所有元素都放到最终位置上。

6.对N个记录进行简单选择排序，比较次数和移动次数分别为O(N^2)和O(N)。（对）
解析：简单选择排序的基本思想是：每一轮从待排序的序列中选取最小的元素，将其与序列的第一个元素交换位置，然后在剩余的元素中继续寻找最小值，重复上述过程直到序列排好序为止。

7.对N个记录进行快速排序，在最坏的情况下，其时间复杂度是O(NlogN)。（错）
在最好情况和平均情况下，快速排序算法时间复杂性为O(NlogN)；在最坏的情况下，其时间复杂度是O(N^2)

8.采用递归方式对顺序表进行快速排序，每次划分后，先处理较短的分区可以减少递归次数。（错）
解析：快速排序的性能与划分后两个子序列的大小无关，在最坏的情况下，仍然可能出现O(N^2)的时间复杂度。

9.空间复杂度：堆排序<快速排序<归并排序（对）

10.堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)（对）

11.要从50个键值中找出最大的3个值，选择排序比堆排序快。（对）

12.计数排序是一个广泛使用的排序算法。对n个分布在[0, m]的整数进行计数排序，时间复杂度为 （）
A.O(m)
B.O(n logn)
C.O(n)
D.O(m+n)
选C

13.在简单选择排序过程中，关键字比较的次数与记录的初始排列次序无关。（对）

选择题

1.有组记录的排序码为{46，79，56，38，40，84 }，采用快速排序（以位于最左位置的对象为基准）得到的第一次划分结果为：
A.{40,38,46,56,79,84}
B.{38,46,56,79,40,84}
C.{38,79,56,46,40,84}
D.{38,46,79,56,40,84}
选A，解析：

46，79，56，38，40，84
l                  r
因为以46为基准，所以l不动，对r进行分析
84大于46，所以不用动
接着r--，对应40
46，79，56，38，40，84
l              r
40小于46，所以将40替换46
40，79，56，38，——，84
l              r
接着l++
40，79，56，38，——，84
    l          r
l对应79，大于40，所以79替换到r的地方
40，——，56，38，79，84
    l          r
接着r--，对应38
40，——，56，38，79，84
    l       r
38小于40，所以38替换到l的地方
40，38，56，——，79，84
    l       r
接着l++ 
40，38，56，——，79，84
        l   r
l对应56，大于40，所以56替换到r处
40，38，——，56，79，84
        l   r
接着r--
此时l与r位置相同
所以不用替换，直接把基准值46填进去就行

2.使用快速排序算法对数据进行升序排序，若经过一次划分后得到的数据序列是 68, 11, 70, 23, 80, 77, 48, 81, 93, 88，则该次划分的枢轴是：
A.81
B.70
C.80
D.11
选A，解析：枢轴的左边比它小，右边比它大。

3.在基于比较的排序算法中，哪种算法的最坏情况下的时间复杂度不高于O(NlogN)？
A.冒泡排序
B.希尔排序
C.快速排序
D.归并排序
选D，上文讲过了。

4.在快速排序的一趟划分过程中，当遇到与基准数相等的元素时，如果左右指针都会停止移动，那么当所有元素都相等时，算法的时间复杂度是多少？
A.O(N)
B.O(NlogN)
C.O(logN)
D.O(N2)
选A，解析：指针停止就会不断交换左右指针的元素，这样虽然多余的交换次数变多，但让子序列的元素相对平均，所以一共有logN次划分，时间复杂度是O(N)。

5.对数据进行排序时，若采用直接插入排序而不采用快速排序，则可能的原因是
I. 大部分元素已有序
II. 待排序元素数量很少
III. 要求空间复杂度为O(1)
IV. 要求排序算法是稳定的
二者区别如下：直接插入排序是一种简单的排序算法，它的思想是将待排序序列分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分取出一个元素，插入到已排序部分的合适位置。快速排序是一种分治法的排序算法，它通过选择一个基准值，将序列划分为比基准值小和比基准值大的两部分，然后对这两部分进行递归排序。
直接插入排序是稳定的排序算法，相等元素的相对顺序不会改变。快速排序是不稳定的排序算法，相等元素的相对顺序可能会改变。
故本题选I、II、III、IV

6.采用递归方式对顺序表进行快速排序，下列关于递归次数的叙述中，正确的是：
A.每次划分后，先处理较长的分区可以减少递归次数
B.递归次数与初始数据的排列次序无关
C.递归次数与每次划分后得到的分区处理顺序无关
D.每次划分后，先处理较短的分区可以减少递归次数
选C，解析：无论是先处理长分区还是先处理短分区，递归次数均不变。

7.选择一个排序算法时，除算法的时空效率外，下列因素中，还需要考虑的是：

• I、数据的规模
• II、数据的存储方式
• III、算法的稳定性
• IV、数据的初始状态
  答案：全选。

8.在快速排序的一趟划分过程中，当遇到与基准数相等的元素时，如果左指针停止移动，而右指针在同样情况下却不停止移动，那么当所有元素都相等时，算法的时间复杂度是多少？
答案：O(N^2)

比如说
1 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 1 1（共n个）
  
i                        j
由于i不动，所以j一直左移，左移n-1次
第一次完成后变为
1 1 1 1 1 1 1 1 .... 1 1 1（共n个）
  i                      j
由于i不动，所以j一直左移，左移n-2次
由此一直递归
则次数为
n-1 + n-2 + n-3 + n-4 + n-5 + n-6 + ....

9.排序过程中，对尚未确定最终位置的所有元素进行一遍处理称为一“趟”。下列序列中，不可能是快速排序第二趟结果的是：
A.5, 2, 12, 28, 16, 32, 72, 60
B.5, 2, 16, 12, 28, 60, 32, 72
C.2, 16, 5, 28, 12, 60, 32, 72
D.2, 12, 16, 5, 28, 32, 72, 60
答案选A
解析

先按升序和降序排序
2 5 12 16 28 32 60 72
72 60 32 28 16 12 5 2

因为这题的答案趋势为小的数在左边，大的数在右边
所以我们将升序序列与答案作比较
经过两次快速排序之后，可能的是：
1.产生两个基准，第一个基准要不然在最左要不然在最右，剩下一个基准任意
2.产生三个基准，第一个基准在中间，剩下两个分别在两边

2 5 12 16 28 32 60 72
A（5, 2, 12, 28, 16, 32, 72, 60）
我们发现A选项有12、32与升序序列是对应的
可12和32都不在最左或最右，所以A错


接着看B
2 5 12 16 28 32 60 72
B.5, 2, 16, 12, 28, 60, 32, 72
我们发现B选项有28、72与升序序列是对应的
所以B可能对

看C
2 5 12 16 28 32 60 72
C.2, 16, 5, 28, 12, 60, 32, 72
C中有2、72是对应的，同理C可能正确

看D
2 5 12 16 28 32 60 72
D.2, 12, 16, 5, 28, 32, 72, 60
D中有2、28、32是对应的，同理D可能正确

10.设数组 S[ ]={93, 946, 372, 9, 146, 151, 301, 485, 236, 327, 43, 892}，采用最低位优先（LSD）基数排序将 S 排列成升序序列。第 1 趟分配、收集后，元素 372 之前、之后紧邻的元素分别是：
A.485，301
B.301，892
C.236，301
D.43，892
基数排序是一种稳定的排序方法。由于采用最低位优先(LSD) 的基数排序，即第1趟对个位进行分配和收集的操作（按最低位进行排序），因此第一趟 分配和收集后的结果是{151, 301, 372, 892, 93, 43,485, 946, 146, 236, 327,9}，元素372之前、之后紧邻的元素分别是301和892，故选B。

11.使用二路归并排序对含 n 个元素的数组 M 进行排序时，二路归并操作的功能是：
A.将两个有序表合并为一个新的有序表
B.将 M 划分为两部分，两部分的元素个数大致相等
C.将 M 划分为两部分，一部分元素的值均小于另一部分元素的值
D.将 M 划分为 n 个部分，每个部分中仅含有一个元素
选A，解析：二路归并排序（Two-way Merge Sort）是归并排序的一种常见实现方式。它将待排序序列不断地划分成两个子序列，然后对每个子序列进行排序，并最后将两个有序的子序列合并起来，从而得到完全有序的序列。

12.给定初始待排序列{ 15，9，7，8，20，-1，4 }。如果希尔排序第一趟结束后得到序列为{ 15，-1，4，8，20，9，7 }，则该趟增量为：
A.1
B.4
C.2
D.3
选B，解析：序列中相距4个位置相对应的元素为{ 15，20 }、{ 9，-1 }、{ 7，4 }、{ 8， }。通过比较和交换操作，可将这些元素序列调整为{ 15，-1，4，8，20，9，7 }。

13.对于7个数进行冒泡排序，需要进行的比较次数为：
A.7
B.14
C.21
D.49
选C，解析：冒泡排序的比较次数可以通过以下公式计算：(n-1) + (n-2) + … + 2 + 1 = n*(n-1)/2，故本题比较次数为21。

14.对于10个数的简单选择排序，最坏情况下需要交换元素的次数为：
A.100
B.45
C.36
D.9
选D，解析：简单选择排序在最坏情况下，会经过n-1次选取最值，才能完成排序。

选择排序图示：

15.对一组包含10个元素的非递减有序序列，采用直接插入排序排成非递增序列，其可能的比较次数和移动次数分别是：

A.100, 100

B.54, 63

C.100, 54

D.45, 44

选D，解析：当元素均为逆序时，插入排序执行的比较和交换次数为n*(n-1)/2，但本题可以考虑有两个元素相同的情况，所以移动次数可以比45少1。

16.对初始数据序列{ 8, 3, 9, 11, 2, 1, 4, 7, 5, 10, 6 }进行希尔排序。若第一趟排序结果为（ 1, 3, 7, 5, 2, 6, 4, 9, 11, 10, 8 ），第二趟排序结果为（ 1, 2, 6, 4, 3, 7, 5, 8, 11, 10, 9 ），则两趟排序采用的增量（间隔）依次是：
A.5, 2
B.5, 3
C.3, 2
D.3, 1
选B，解析如下：

17.对N个不同的数据采用冒泡算法进行从大到小的排序，下面哪种情况下肯定交换元素次数最多？
A.从大到小排好的
B.元素无序
C.元素基本有序
D.从小到大排好的
选D，解析：当元素基本有序时，交换元素元素较少，冒泡排序交换次数较少。同理可知，当元素从小到大排好时冒泡排序处于最坏情况。

18.对于序列{ 49，38，65，97，76，13，27，50 }，按由小到大进行排序，下面哪一个是初始步长为4的希尔排序法第一趟的结果？
A.97,76,65,50,49,38,27,13
B.49,13,27,50,76,38,65,97
C.49,76,65,13,27,50,97,38
D.13,27,38,49,50,65,76,97
选B，解析：按步长为4划分，则有{49，76}，{38，13}，{65，27}，{97，50}
组内排序得到{49，76}，{13，38}，{27，65}，{50，97}
故第一趟的结果为B

19.输入10^6个只有一位数字的整数，可以用O(N)复杂度将其排序的算法是：（桶排序）
解析：桶排序所需的时间复杂度为O(N)

20.若数据元素序列{ 12, 13, 8, 11, 5, 16, 2, 9 }是采用下列排序方法之一得到的第一趟排序后的结果，则该排序算法只能是：（归并排序）
A. 快速排序
B. 选择排序
C. 堆排序
D. 归并排序
解析：排除选择排序，因为选择排序后，最前面一定是最小的或最大的；排除快速排序，因为找不到枢纽值；排除堆排序，建堆后可看出不符合

21.在内部排序时，若选择了归并排序而没有选择插入排序，则可能的理由是：（3）
1 归并排序的程序代码更短
2 归并排序占用的空间更少
3 归并排序的运行效率更高

22.设有1000个元素的有序序列，如果用二分插入排序再插入一个元素，则最大比较次数是：
A.10
B.500
C.1000
D.999
选A，解析：2^10=1024>1000

23.对N个记录进行归并排序，空间复杂度为：O(N)（对）

24.令 n 表征问题规模，下列程序段的时间复杂度是（ ）。
x=0；
while((x+1)*(x+1)<=n^3)
x=x+1；
A.O(log n)
B.O(n^(3/2))
C.O(n^2)
D.O(n)
选B，x+1<=n^(3/2)

25.解析：2^11=2048

26.计数排序O(n)，归并排序O(nlogn)
所以A

填空题

{46 79 56 38 40 84}以46为基准进行快速排序，则第一次的结果为？

46与84换 得到
84 79 56 38 40 46
接着左指针从84开始向右找比46大的数  右指针从46开始向左找比46小的数
故84与40换 得到
40 79 56 38 84 46
接着79与38换
40 38 56 79 84 46
现在两个指针都在56 不需要换
因此将46插入38后面即可得到第一次的结果

1.插入排序

排序方法中，从未排序序列中依次取出元素与已排序序列中的元素进行比较，将其放入已排序序列的正确位置的方法称为：（插入排序）

2.另类选择排序

3.冒泡排序

本题要求用冒泡排序将一组整数按增序排序。冒泡排序每次从头到尾扫描待排序列，检查相邻两数的顺序，如果顺序不对就交换。请补全下列冒泡排序的代码。

typedef struct node *nodeptr;
struct node{
   int value;
   nodeptr next;
   /* 一些其他的项，在此忽略 */
};
 
nodeptr BubbleSort (nodeptr h)
{/* h 是带空头结点的链表的头指针 */
   nodeptr p, q;
   int flag_swap;
 
   if (!h->next)  return h;
   do{
      flag_swap = 0;
      p = h;
      while (p->next->next){
         if ( p->next->value>p->next->next->value (3分) ){
            flag_swap++;
            q = p->next;
            p->next=q->next (3分);
            q->next=p->next->next (3分);
            p->next->next=q (3分);
         }
         else p = p->next;
      }
   } while (flag_swap > 0);
   return h;
}

4.快速查找第K大元

本函数的功能是从有N个元素的线性表A中查找第K大的元素。函数的初始调用为Qselect(A, K, 0, N-1)。请完成下列填空。

ElementType Qselect( ElementType A[], int K, int Left, int Right )
{
    ElementType Pivot = A[Left];
    int L = Left, R = Right+1;
      
    while (1) {
        while ( A[++L] > Pivot ) ;
        ________________________
//填while ( A[--R] < Pivot )
        if ( L < R ) Swap( &A[L], &A[R] );
        else break;
    }
    Swap( &A[Left], &A[R] );
    if ( K < (L-Left) )
        return Qselect(A, K, Left, R-1);
    else if ( K > (L-Left) )
    ________________________
//填return Qselect(A, K-(L-Left), L, Right)
    else
        return Pivot;
}

至此，我们完成了排序算法的排序、选择、填空的相关练习，在下一篇文章中我们将进行排序算法编程题的练习。