微积分-第四章极限-1

第四章 极限

4.1 极限的基本思想

考虑函数$f(x)=2x$。当$x$趋向于2时$f(x)$会趋向与何值？显而易见的是函数$f$在$x=2$处有定义。所以我们可以说当$x$趋向于2时$f(x)$趋向于4。
我们可以直接写出
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)=4$$
$\lim$是极限的符号，这个极限式子表示当$x$趋向于2时$f(x)$趋向于4。 它读作“当$x$ 趋向于2时，$f(x)$的极限值等于4”。

让我们对$f(x)=2x$的定义域做一点限制，让$x\ne 2$ 。此时我们就不能说
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)\ne f(2)$$

因为$2$不在函数的定义域内，$f(2)$是无定义的。让我们画出它的图像

从图中可以清楚的看到当$x\to 2$时，函数值越来越接近于4,但是永远不会是4。因为$x\ne 2$。我们也可以找一些接近于2的值，如$f(1.999)=3.998$,我们还可以更接近$f(1.99999)=3.99998$。 我们会发现当$x$ 越来越接近于2时，$f(x)$会越来越来接近4。我们可以说
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$$
上述陈述的另一个写法是
$$f(x)\to 4当x\to 2$$
不严谨的来说，极限就是当$x\to a$时,$f(x)$趋向何值。其中a是一个实数。

在数学中，极限的定义是更为严格的。在形式上，我们说当$x$趋向于$a$时，$f(x)$的极限是$L$表示，对于任何给定的正数$ϵ$，存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，都有$|f(x)-L|<ϵ$。这是极限的ε-δ定义

这段话对大家来说或许有些抽象，难以理解。我带大家来分析一下。这里用极限
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$$
其中
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}8& x=2\\ 2x& x\ne 2\end{array}$$
来举例。

让我们画出它的图像

现在让我们以点a（在这里是2）为中点建立一个区间，这个区间要保证$0<|x-a|<\delta$。

那么问题来了，如何选取$\delta$呢？这里的要点是$\delta$要足够的小。 我们不妨先假设$\delta =0.1$

如图所示

现在让我们选出定点$L$。这里可能会有同学想要选择$L=8$。但是这是不对的，因为$0<|x-a|$,这意味着$f(2)$是不在区间内的。并且我们选取的这个点与区间内的$f(x)$之间的距离要小于任意一个正数$ϵ$。通过图像我们不难发现$L=4$。让我们继续调整$\delta$,使得对于给定任意整数$ϵ$都有$|f(x)-L|<ϵ$。
至此我们便找出了极限值。
$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$$

大家要记住：极限是描述$x$接近$a$，但不等于$a$时$f(x)$的行为，我们并不关心$f(a)$本身。
未完待续
如有问题，恳请指正