【算法】【动规】回文串系列问题

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子串部分

3.1 回文子串

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给定一个字符串 s ，请计算这个字符串中有多少个回文子字符串。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

1. 状态表示
   • dp[i][j] 表示字符串 s 中以 i 位置开头 j 位置结尾的子串，是否是回文。
2. 状态转移方程

   • 分析 dp 表，要判断 [i, j] 位置的子串是否为回文，首先要根据 s[i] 和 s[j] 的大小判定，具体如下：

     s[i] != s[j], false
     s[i] == s[j], i == j, true
     			  i + 1 == j, true
     			  j - i > 1, s[i+1][j-1] == true, true
     			  			 s[i+1][j-1] == false, false
     

3. 初始化
   • 这里主要是[i+1][j-1] 可能会超出需要范围，但是有个隐含条件 i <= j，可以在 for 循环中控制，所以不需要初始化。
4. 填表顺序
   • 填写 dp[i][j]，需要有 [i+1] 和 [j-1]，故二维数组从下往上填写。
5. 返回值
   • dp 中的 true 的出现次数。

代码如下：

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        int ret = 0;

        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            for(int j = i; j < n; j++)
            {
                // 默认都是 false，只需要处理 true 的位置
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i+1][j-1] : true;
                if(dp[i][j])
                    ret++;
            }
        }
        return ret;
    }
};

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3.2 最长回文子串

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给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
如果字符串的反序与原始字符串相同，则该字符串称为回文字符串。

如上题分析，写 dp 方程。

在 dp[i][j] 且满足基本约束时，找到 len（即 j - i + 1）的最大值，
同时，由于 dp 表是从下往上（从后往前）填的，正好更新 begin。

代码如下：

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
        int len = 1, begin = 0;
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));

        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            for(int j = i; j < n; j++)
            {
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i+1 < j ? dp[i+1][j-1] : true;
                if(dp[i][j] && j-i+1 > len)
                    len = j - i + 1, begin = i;
            }
        }
        return s.substr(begin, len);
    }
};

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3.3 分割回文串 IV

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给你一个字符串 s ，如果可以将它分割成三个 非空 回文子字符串，那么返回 true ，否则返回 false 。
当一个字符串正着读和反着读是一模一样的，就称其为 回文字符串 。

还是照上述方法，生成 dp 表，记录是否为回文子串，进行数据预处理；

再将字符分成三部分，依次遍历，如果 相应位置的 dp 值为 true，就可以直接返回啦。

代码如下：

class Solution {
public:
    bool checkPartitioning(string s) {
        int n = s.size();

        // 1. 预处理：子串是否是回文
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for(int j = i; j < n; j++)
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i+1 < j ? dp[i+1][j-1] : true;

        // 2. 字符串分成三段，枚举就好了
        // [0, i) [i, j) [j, n)
        for(int i = 1; i < n - 1; i++)  // i 是第二段的起始
            for(int j = i + 1; j < n; j++)  // j 是第三段的起始
                if(dp[0][i-1] && dp[i][j-1] && dp[j][n-1])
                    return true;

        return false;
    }
};

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3.4 分割回文串II(hard)

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给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文。
返回符合要求的 最少分割次数 。

同样先预处理数据，方便判断子串是否是回文串；

剩下的分析方法与 1.4 单词拆分题 一样：

• dp[i] 表示 s[0, i] 位置上的最长字串的最小分割次数；
• 当分析 dp[i] 的时候，需要将[0, i] 分成两部分：

  • 首先是离 i 最近的 [j, i]，找到能满足是回文的 j，

  • 再找 [0, j-1] 的最小分割次数，正是和状态表示一样，于是有

    dp[i], [0, i] 是回文，0
    	   [0, i] 不是回文，有 0 < j <= i，[j, i] 是回文，求 min(dp[j]+1)
    	   						 		 [j, i] 不是回文，不考虑
    

代码如下：

class Solution {
public:
    int minCut(string s) {
        int n = s.size();

        // 1. 预处理：子串是否是回文
        vector<vector<bool>> sub(n, vector<bool>(n));
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for(int j = i; j < n; j++)
                if(s[i] == s[j])
                    sub[i][j] = i+1 < j ? sub[i+1][j-1] : true;
        
        // 2. 分割，是另一个dp问题咯~
        vector<int> dp(n, 0x3f3f3f3f);
        for(int i = 0; i < n; i++)	// i 是第二部分(整体)的结尾
        {
            if(sub[0][i]) 
                dp[i] = 0;
            else
                for(int j = 1; j <= i; j++)	// j 是第二部分的开头(第一部分结尾的下一个)
                    if(sub[j][i])
                        dp[i] = min(dp[j - 1] + 1, dp[i]);
        }
        return dp[n-1];
    }
};

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子序列部分

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3.5 最长回文子序列

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

1. 状态表示
   • 定义状态表示一定要能从已知推出未知，如果按照 以 i 开头 j 结尾的方式定义 dp[i][j]，由于子序列的不连续特性，导致 i±1、j±1 的位置没法有规律的退出，所以这样的定义方式肯定是不对的。
   • 题目求 s 中满足回文的子序列的最长长度，我们按照题目所求的方式定义状态表示；
   • dp[i][j] 表示 s 中 [i, j] 范围内满足回文的子序列的最长长度。（这样定义有一个好处就是，不关心子序列的具体头尾位置，边界 ± 时只需要根据回文的特性，判断边界值即可）
2. 状态转移方程

   • 分析 dp 表，要判断 [i, j] 内的最长回文子序列长度，里面的最长回文子序列为 dp[i+1][j-1] ，所以只需要判断边界 s[i] 和 s[j] 的值是否相等，以这个条件作为情况判定：

     s[i] == s[j], dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2
     s[i] != s[j], dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
     

3. 初始化
   • 当子序列长度为 1 的时候，是最小回文串长度，需要初始化。在for循环中初始化 dp[i][i] 即可。
4. 填表顺序
   • 填写 dp[i][j]，需要有 [i+1] 和 [j-1]，故二维数组从下往上填写。
5. 返回值
   • [0, s.size()-1] 范围内的最长回文子序列，也就是返回 dp[0][n-1]。

代码如下：

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));  // dp[i][j] 表示 s 中 [i, j] 范围内满足回文的子序列的最长长度
        for(int i = n-1; i >= 0; i--)
        {
            dp[i][i] = 1;
            for(int j = i + 1; j < n; j++)
            {
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }
};

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3.6 让字符串成为回文串的最少插入次数

题目链接

给你一个字符串 s ，每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。
请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数 。
「回文串」是正读和反读都相同的字符串。

1. 状态表示
   • dp[i][j] 表示 s 中 [i, j] 范围内，让字符串成为回文串的最少插入次数
2. 状态转移方程

   • 从最小状态入手，当 i == j 或者 一些特殊情况的时候，子串满足回文串条件插入次数为 0

     s[i] == s[j], dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
     s[i] != s[j], if i+1 == j, dp[i][j] = 1;	// 这一条可以被下面的语句覆盖，所以不需要写出来
     			  if i+1 > j, dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1])+1;
     

3. 初始化
   • 使用 vector 默认初始化为 0 即可
4. 填表顺序
   • 填写 dp[i][j]，需要有 [i+1] 和 [j-1]，故二维数组从下往上填写。
5. 返回值
   • [0, s.size()-1] 范围内的最小插入次数，也就是返回 dp[0][n-1]。

class Solution {
public:
    int minInsertions(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        for(int i = n-1; i >= 0; i--)
            for(int j = i+1; j < n; j++)
                if(s[i] != s[j]) dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1;
                else dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                
        return dp[0][n-1];
    }
};

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