【算法】【动规】回文串系列问题

文章目录

  • 跳转汇总链接
  • 子串部分
    • 3.1 回文子串
    • 3.2 最长回文子串
    • 3.3 分割回文串 IV
    • 3.4 分割回文串II(hard)
  • 子序列部分
    • 3.5 最长回文子序列
    • 3.6 让字符串成为回文串的最少插入次数


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子串部分

3.1 回文子串

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给定一个字符串 s ,请计算这个字符串中有多少个回文子字符串。
具有不同开始位置或结束位置的子串,即使是由相同的字符组成,也会被视作不同的子串。

  1. 状态表示
    • dp[i][j] 表示字符串 s 中以 i 位置开头 j 位置结尾的子串,是否是回文。
  2. 状态转移方程
    • 分析 dp 表,要判断 [i, j] 位置的子串是否为回文,首先要根据 s[i] 和 s[j] 的大小判定,具体如下:

      s[i] != s[j], false
      s[i] == s[j], i == j, true
      			  i + 1 == j, true
      			  j - i > 1, s[i+1][j-1] == true, true
      			  			 s[i+1][j-1] == false, false
      
  3. 初始化
    • 这里主要是[i+1][j-1] 可能会超出需要范围,但是有个隐含条件 i <= j,可以在 for 循环中控制,所以不需要初始化。
  4. 填表顺序
    • 填写 dp[i][j],需要有 [i+1] 和 [j-1],故二维数组从下往上填写。
  5. 返回值
    • dp 中的 true 的出现次数。

代码如下:

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        int ret = 0;

        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            for(int j = i; j < n; j++)
            {
                // 默认都是 false,只需要处理 true 的位置
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i+1][j-1] : true;
                if(dp[i][j])
                    ret++;
            }
        }
        return ret;
    }
};

3.2 最长回文子串

题目链接

给你一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串。
如果字符串的反序与原始字符串相同,则该字符串称为回文字符串。

如上题分析,写 dp 方程。

在 dp[i][j] 且满足基本约束时,找到 len(即 j - i + 1)的最大值,
同时,由于 dp 表是从下往上(从后往前)填的,正好更新 begin。

代码如下:

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        int n = s.size();
        int len = 1, begin = 0;
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));

        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
        {
            for(int j = i; j < n; j++)
            {
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i+1 < j ? dp[i+1][j-1] : true;
                if(dp[i][j] && j-i+1 > len)
                    len = j - i + 1, begin = i;
            }
        }
        return s.substr(begin, len);
    }
};

3.3 分割回文串 IV

题目链接

给你一个字符串 s ,如果可以将它分割成三个 非空 回文子字符串,那么返回 true ,否则返回 false 。
当一个字符串正着读和反着读是一模一样的,就称其为 回文字符串 。

还是照上述方法,生成 dp 表,记录是否为回文子串,进行数据预处理;

再将字符分成三部分,依次遍历,如果 相应位置的 dp 值为 true,就可以直接返回啦。

代码如下:

class Solution {
public:
    bool checkPartitioning(string s) {
        int n = s.size();

        // 1. 预处理:子串是否是回文
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for(int j = i; j < n; j++)
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = i+1 < j ? dp[i+1][j-1] : true;

        // 2. 字符串分成三段,枚举就好了
        // [0, i) [i, j) [j, n)
        for(int i = 1; i < n - 1; i++)  // i 是第二段的起始
            for(int j = i + 1; j < n; j++)  // j 是第三段的起始
                if(dp[0][i-1] && dp[i][j-1] && dp[j][n-1])
                    return true;

        return false;
    }
};

3.4 分割回文串II(hard)

题目链接

给你一个字符串 s,请你将 s 分割成一些子串,使每个子串都是回文。
返回符合要求的 最少分割次数 。

同样先预处理数据,方便判断子串是否是回文串;

剩下的分析方法与 1.4 单词拆分题 一样:

  • dp[i] 表示 s[0, i] 位置上的最长字串的最小分割次数;
  • 当分析 dp[i] 的时候,需要将[0, i] 分成两部分:
    • 首先是离 i 最近的 [j, i],找到能满足是回文的 j,

    • 再找 [0, j-1] 的最小分割次数,正是和状态表示一样,于是有

      dp[i], [0, i] 是回文,0
      	   [0, i] 不是回文,有 0 < j <= i,[j, i] 是回文,求 min(dp[j]+1)
      	   						 		 [j, i] 不是回文,不考虑
      

代码如下:

class Solution {
public:
    int minCut(string s) {
        int n = s.size();

        // 1. 预处理:子串是否是回文
        vector<vector<bool>> sub(n, vector<bool>(n));
        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
            for(int j = i; j < n; j++)
                if(s[i] == s[j])
                    sub[i][j] = i+1 < j ? sub[i+1][j-1] : true;
        
        // 2. 分割,是另一个dp问题咯~
        vector<int> dp(n, 0x3f3f3f3f);
        for(int i = 0; i < n; i++)	// i 是第二部分(整体)的结尾
        {
            if(sub[0][i]) 
                dp[i] = 0;
            else
                for(int j = 1; j <= i; j++)	// j 是第二部分的开头(第一部分结尾的下一个)
                    if(sub[j][i])
                        dp[i] = min(dp[j - 1] + 1, dp[i]);
        }
        return dp[n-1];
    }
};

子序列部分

题目链接

3.5 最长回文子序列

给你一个字符串 s ,找出其中最长的回文子序列,并返回该序列的长度。
子序列定义为:不改变剩余字符顺序的情况下,删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

  1. 状态表示
    • 定义状态表示一定要能从已知推出未知,如果按照 以 i 开头 j 结尾的方式定义 dp[i][j],由于子序列的不连续特性,导致 i±1、j±1 的位置没法有规律的退出,所以这样的定义方式肯定是不对的。
    • 题目求 s 中满足回文的子序列的最长长度,我们按照题目所求的方式定义状态表示;
    • dp[i][j] 表示 s 中 [i, j] 范围内满足回文的子序列的最长长度。(这样定义有一个好处就是,不关心子序列的具体头尾位置,边界 ± 时只需要根据回文的特性,判断边界值即可)
  2. 状态转移方程
    • 分析 dp 表,要判断 [i, j] 内的最长回文子序列长度,里面的最长回文子序列为 dp[i+1][j-1] ,所以只需要判断边界 s[i] 和 s[j] 的值是否相等,以这个条件作为情况判定:

      s[i] == s[j], dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2
      s[i] != s[j], dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
      
  3. 初始化
    • 当子序列长度为 1 的时候,是最小回文串长度,需要初始化。在for循环中初始化 dp[i][i] 即可。
  4. 填表顺序
    • 填写 dp[i][j],需要有 [i+1] 和 [j-1],故二维数组从下往上填写。
  5. 返回值
    • [0, s.size()-1] 范围内的最长回文子序列,也就是返回 dp[0][n-1]。

代码如下:

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));  // dp[i][j] 表示 s 中 [i, j] 范围内满足回文的子序列的最长长度
        for(int i = n-1; i >= 0; i--)
        {
            dp[i][i] = 1;
            for(int j = i + 1; j < n; j++)
            {
                if(s[i] == s[j])
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[0][n-1];
    }
};

3.6 让字符串成为回文串的最少插入次数

题目链接

给你一个字符串 s ,每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。
请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数 。
「回文串」是正读和反读都相同的字符串。

  1. 状态表示
    • dp[i][j] 表示 s 中 [i, j] 范围内,让字符串成为回文串的最少插入次数
  2. 状态转移方程
    • 从最小状态入手,当 i == j 或者 一些特殊情况的时候,子串满足回文串条件插入次数为 0

      s[i] == s[j], dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
      s[i] != s[j], if i+1 == j, dp[i][j] = 1;	// 这一条可以被下面的语句覆盖,所以不需要写出来
      			  if i+1 > j, dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1])+1;
      
  3. 初始化
    • 使用 vector 默认初始化为 0 即可
  4. 填表顺序
    • 填写 dp[i][j],需要有 [i+1] 和 [j-1],故二维数组从下往上填写。
  5. 返回值
    • [0, s.size()-1] 范围内的最小插入次数,也就是返回 dp[0][n-1]。
class Solution {
public:
    int minInsertions(string s) {
        int n = s.size();
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
        for(int i = n-1; i >= 0; i--)
            for(int j = i+1; j < n; j++)
                if(s[i] != s[j]) dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i][j-1]) + 1;
                else dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                
        return dp[0][n-1];
    }
};

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