Chapter1极限、导数、凸函数

目录

一.O(n)和o(n)

二.极限

三.求导定义

四.求导方法

五.导数的应用：费马定理

六.导数的应用：函数逼近

七.导数的应用：泰勒展开

八.凸函数

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一.O(n)和o(n)

1.，其中O指的是Order阶。多项式阶——为2项阶

：使得当时，，其中M是常数

举例一：，令M=2，为任意常数，使得当时，总有成立。

举例二：,令M=2，，使得当时，总有成立。

2.，指的是的阶是严格小于的阶的。（与极限相关）

：使得当时，

举例一：，当取时，令，当时，总有

举例二：，当取时，令，当时，总有

二.极限

1.对，，使得当时，有，所以当，有，即，其中  （即上面的o(n)）

2.对，，使得当时，有，所以当，有

三.求导定义

求导就是当时，求解的变化情况，即

举例：，求在x=1处的导就是

ps:python中有一个包为SymPy，可做符号计算

Derivative Calculator • With Steps! (derivative-calculator.net) 导数表：可进行导数计算

四.求导方法

生成新的导数的方法：

+：

-：

×：

÷：

复合函数：  (链式法则，用于神经网络之中)

五.导数的应用：费马定理

对于，若，称为极大值点，若，称为极小值点。

六.导数的应用：函数逼近

Rolle中值定理：当在内连续，内可导，且，则至少一点，使得

Lagrange中值定理：当在内连续，内可导，则至少一点，使得。其证明是构造函数,所以利用Rolle中值定理，，即可证明。

七.导数的应用：泰勒展开

洛必达法则：当时，，则。

所以，，证明是根据洛必达法则，分子分母分别求导得：

泰勒展开：

八.凸函数

 下凸函数：如果二阶导数存在，且，则函数为下凸函数，亦称“凸函数”。

上凸函数：如果二阶函数存在，且，则函数为上凸函数。

对于下凸函数：

若，令某横坐标为，则直线上其纵坐标为，函数上其纵坐标为。则

 ，其中，

由于，所以要想证明二阶导数大于等于0，就要证明，即证明。

证明如下：令，所以

因为，所以分母大于0。又，所以分子大于等于0。综上：。