《剑指Offer》学习笔记--面试题32：从1到n整数中1出现的次数

题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。

不考虑时间效率的解法，靠它想拿到Offer有点难

如果在面试的时候碰到这个问题，应聘者大多能想到最直观的方法，也就是累加1到n中每个整数1出现的次数。我们可以每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1.如果这个数字大于10，除以10之后再判断个位数字是不是1.基于这个思路，我们不难写出如下代码：

int NumberOf1Between1AndN(unsigned int n)
{
	int number = 0;

	for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)
		number += NumberOf1(i);
	return number;
}

int NumberOf1(unsigned int n)
{
	int number = 0;
	while(n){
		if(n % 10 == 1)
			number++;

		n = n / 10;
	}

	return number;
}

在上述思路中，我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n，n有O(logn)位，我们需要判断每一位是不是1，那么它的时间复杂度是O(n*logn)。当输入n非常大的时候，需要大量计算，运算效率不高。面试官不会满意这种算法，我们仍然需要努力。

从数字规律着手明显提高时间效率的解法，能让面试官耳目一新

如果不希望计算每个数字的1的个数，那就只能寻找1在数字中出现的规律了。为了找到规律，我们不妨用一个稍微大一点的数字比如21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分为两段，一段时从1到1345，另一段是从1346到21345.

我们先看从1346到21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况。首先分析1出现在最高位的情况。从1246到21345的数字中，1出现在10000~19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000个。

值得注意的是，并不是对所有5位数而言在万位出现的次数都是10000个。对于万位是1的数字比如输入12345,1值出现在10000~12345的万位，出现的此时不是10000，而是2346次，也就是出去最高数字之后剩下的数字再加上1（即2345+1=2346次）。

接下来分析1出现在除最高位之外的其他四位数中的情况。例子中1346~21345这20000个数字中后4位中1出现的次数是2000次。由于最高位是2，我们可以再把1346~21345分成两段，1346~11345和11346~21345。每一段剩下的4位数字中，选择其中一位1，其余三位可以再0~9这10个数字中任意选择，因此根据排列组合原则，总共出现的次数是2*1000=2000。

至于从1到1345中1出现的次数，我们就可以用递归求得了。这也是我们为什么要把1~21345分成1~1345和1346~21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就变成1345，便于我们采用递归的思路。

基于前面的分析，我们可以写出如下代码（为了变成方便，我们先把数字转换成字符串）：

int NumberOf1(const char* strN)
{
	if(!strN || *strN < '0' || *strN > '9' || *strN == '\0')
		return 0;

	int first = *strN - '0';
    unsigned int length = static_cast(strlen(strN));

	if(length == 1 && first == 0)
		return 0;

	if(length == 1 && first > 0)
		return 1;

	//假设strN是"21345"
	//numFirstDigit是数字10000~19999的第一个位中的数目
	int numFirstDigit = 0;
	if(first > 1)
		numFirstDigit = PowerBase10(length - 1);
	else if(first == 1)
		numfirstDigit = atoi(strN + 1) + 1;

	//numOtherDigits是1346~21345
	int numOtherDigits = first * (length-1) * PowerBase10(length-2);
	//numRecursive是1~1345中的数目
	int numRecursive = NumberOf1(strN + 1);

	return numFirstDigit + numOtherDigits + numRecursive;
}

int PowerBase10(unsigned int n)
{
	int result = 1;
	for(unsigned int i = 0; i < n; ++ i)
		result *= 10;

	return result;
}

这种思路是每次去掉最高位做递归，递归次数和位数相同。一个数字n有O(logn)位，因此这种思路的时间复杂度是O(logn)，比前面的原始方法要好很多。