【算法】数论---质数

质数与和数的定义

质数与和数：在>=2的自然数中定义了一些自然数为质数（仅能被1和其自身整除），而其他的一些数就被称为和数（与质数相对，除了能被1和其自身整除以外还能被其他自然数整除）

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一、质数的判定---试除法

bool is_prime(int x)
{
    if(x<=1)return false;
    for(int i=2;i<=x/i;i++)  //不要用开方函数或者i*i小于x。开方函数慢，i*i可能越界
    {
        if(x%i==0)return false;
    }
    return true;
}

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二、分解质因数---试除法

for(int i=2;i<=x/i;i++)  //i <= x / i:将x的所有<=sqrt(x)的质因子除去（其中x是可能会变化的<即不断减小>，这相当于是一种优化）
{
    int num=0;
    while(x%i==0)
    {
        num++;
        x/=i;
    }
    if(num!=0)cout<1)cout<1时则说明 x 的质因子中包含一个大于 根号x 的质数（其中x是可能会变化的<即不断减小>，这相当于是一种优化）
 

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三、质数的筛选

①埃式筛法

for(int i=2;i<=n;i++)  //i从数字2开始遍历
{
    if(st[i])continue;  //如果i被标记的话，说明它不是质数，则跳过这个数
    else
    {
        primes[idx++]=i;  //如果i没有被标记的话，说明它是质数，则将它存到质数数组中去
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i)  //并且将i在n内的所有倍数进行标记（因为可以确定它们都已经不可能是质数了）
        {
            st[j]=true;
        }
    }
}

②线性筛法

for(int i=2;i<=n;i++)  //i从数字2开始遍历
{
    if(!st[i])primes[idx++]=i;  //如果i没有被标记的话，说明它是质数，则将它存到质数数组中去

    for(int j=0;primes[j]*i<=n;j++)
    {
        st[primes[j]*i]=true;
        if(i%primes[j]==0)break;
    }
}

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