蓝桥杯一维差分 | 算法基础

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亲爱的友友们，我们今天来学习一个简单而又常用的算法（比赛中遇到了就赚大发了额）

这个算法的名字就叫做 差分算法

差分算法在各种算法比赛中使用到的频率还是不低的，大家一定要掌握哟，主要是这个算法也比较简单，容易理解

我们本次讲解只讲解一维差分，二维差分我们后续再讲，只要你把一维差分理解到位了，二维差分也是直接拿下

概念

我们先来了解一下一些概念性的东西

在算法和计算机科学中，差分（Differential）通常指的是一种数据结构，它用于高效地存储和查询序列中元素的增量。这种数据结构特别适用于那些元素之间存在固定增量的序列

差分数组

差分数组是一种优化的数据结构，它通过存储序列的增量来减少计算时间。给定一个序列 A，其差分数组 D 可以通过以下方式构建：

1. 初始化一个空数组 D。
2. 对于序列 A 中的每个元素 A[i]（从 i = 1 到 n，其中 n 是序列的长度），计算 D[i] = A[i] - A[i-1]（如果 i 是序列的第一个元素，则 D[i] = A[i]）。
3. 最终，差分数组 D 的第一个元素 D[0] 通常被设置为 0（或者序列的第一个元素，取决于具体应用）。

是不是感觉特别简单啊，那我们来实践一下，加深理解

例子

我们来看一道Acwing上面的模板题：

我也直接给家人们要来了（贴心吧❤️）：差分

这个题目的意思是不是特别简单啊，我们最直观的做法就是写个双重循环直接干，但是看这数据范围肯定会TLE的

我们必须得优化，怎么优化呢，就要用到我们上面说的差分了，

思路

我们定义一个差分数组b，b[i] = a[i]-a[i-1] (i>=1)，

：b[0]=a[0]

我们简单列举几项

b[1]=a[1]-a[0]

b[2]=a[2]-a[1]

b[3]=a[3]-a[2]

…

b[i]=a[i]-a[i-1]

好啦，我们要求a[i]的话，是不是就是求b[i]+b[i-1]+…b[0]啊

所以a[i]=b[i]+b[i-1]+…b[0]

这些理清楚后，我们来看下怎么做增加操作

我们要在a数组的 l 到 r 区间 给每个数加上c , 如果我们直接去操作a数组，需要操作r-l次

注意啦，我们不去操作a数组，我们去动b数组

我们将 b[l] + c ，这样就相当于a[l] 后面的所有数都加上了c

然后 b[r+1]-c，这里为什么 要 减去c呢？ 就是因为刚刚把l后面的都加上了c,而从r+1开始，我们又不要+c，所以得减去c

‍答疑环节

有的小伙伴可能有疑问了为什么b[l]+c 就相当于a[l] 后面的所有数都加上了c

我们假设一下，我们求 a[l+3]的值

根据公式来

a[l+3]=b[l+3]+b[l+2]+b[l+1]+b[l]+b[l-1]+…b[0]

因为我们刚刚对b[l]加了c，所以a[l+3] 肯定是比之前的值大c的

怎么样，理解了吗？如果还有不理解的地方可以再评论区留言或者厚台滴滴我哟

OK，理论都整清楚了，我们接下来写写code吧

代码

AC 代码清单

#include
using namespace std;
int n,m;
int a[100010];
int b[100010];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],b[i]=a[i]-a[i-1];
    while(m--){
        int l,r,c;    cin>>l>>r>>c;
        b[l]+=c;b[r+1]-=c;
    }
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        sum+=b[i];
        cout<<sum<<" ";
    }
    return 0;
}

看了代码后是否加深了理解了呢，如果大家还有任何疑问的话欢迎大家来和我交流哟

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