代码随想录训练营第二十七天——组合总和，组合总和||，分割回文串

leetcode 39. 组合总和

题目链接：组合总和
本题中元素没有数量要求，可以无限重复选取，且集合candidates中的元素是无重复的

本题需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex：

• 如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex；
• 如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex

常规解法（版本一）：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i); //不用i+1，表示可以重复读取当前的数
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

剪枝优化（版本二）：

对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[i]）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历。

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            backtracking(candidates, target, sum, i);
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();

        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        result.clear();
        path.clear();
        sort(candidates.begin(), candidates.end()); //注意需要排序
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

时间复杂度: O(n * 2^n)，这里只是复杂度的上界，因为剪枝的存在，真实的时间复杂度远小于此。
空间复杂度: O(target)

注意：在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路

leetcode 40. 组合总和||

题目链接：组合总和||
本题与39.组合总和存在如下两个区别：

• 本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
• 本题candidates的元素是有重复的，而39.组合总和是无重复元素的数组candidates

本题的关键是如何处理集合（数组candidates）有重复元素，但不能有重复的组合。因此在算法搜索过程中需要去重。

• 去重：就是使用过的元素不能重复选取，树形结构上存在两个维度，即同一个树枝上使用过和同一层上使用过。

本题要求元素在同一个组合内是可以重复的，但两个组合不能相同。所以需要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。

注意：树层去重的话，需要对数组排序

本题的去重通过一个bool类型的used数组来完成。used数组记录同一树枝上的元素是否使用过。
上图中，在candidates[i] == candidates[i - 1]相同的情况下：

• used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
• used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool>& used) {
        if (sum == target) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
            // used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
            // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
            if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
                continue;
            }
            sum += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            used[i] = true;
            backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); // 和39.组合总和的区别1，这里是i+1，每个数字在每个组合中只能使用一次
            used[i] = false;
            sum -= candidates[i];
            path.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        vector<bool> used(candidates.size(), false);
        path.clear();
        result.clear();
        sort(candidates.begin(), candidates.end());//首先把给candidates排序，让其相同的元素都挨在一起
        backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
        return result;
    }
};

leetcode 131. 分割回文串

题目链接：分割回文串
本题属于切割问题，切割问题类似与组合问题。

版本一：

class Solution {
private:
    vector<vector<string>> result;
    vector<string> path; // 搜集已经回文的子串
    void backtracking (const string& s, int startIndex) {
        // 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了
        if (startIndex >= s.size()) //终止条件
         {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
            if (isPalindrome(s, startIndex, i)) {   // 是回文子串
                // 获取[startIndex,i]在s中的子串
                string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
                path.push_back(str);
            } else {                                // 不是回文，跳过
                continue;
            }
            backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串
            path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经添加的子串
        }
    }
    bool isPalindrome(const string& s, int start, int end) //采用双指针法判断一个子串是不是回文子串
     {
        for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) {
            if (s[i] != s[j]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
public:
    vector<vector<string>> partition(string s) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(s, 0);
        return result;
    }
};

时间复杂度：O(n * 2^n)
空间复杂度：O(n^2）

版本二：

可以对使用双指针法判断回文子串的算法进行优化：
给定一个字符串s, 长度为n, 它成为回文字串的充分必要条件是：s[0] == s[n-1]且s[1:n-1]是回文字串。
可以事先一次性计算出， 针对一个字符串s, 它的任何子串是否是回文字串, 然后在回溯函数中直接查询，省去了双指针的移动判定。

class Solution {
private:
    vector<vector<string>> result;
    vector<string> path; // 放已经回文的子串
    vector<vector<bool>> isPalindrome; // 放事先计算好的是否回文子串的结果
    void backtracking (const string& s, int startIndex) {
        // 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了
        if (startIndex >= s.size()) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
            if (isPalindrome[startIndex][i]) {   // 是回文子串
                // 获取[startIndex,i]在s中的子串
                string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
                path.push_back(str);
            } else {                                // 不是回文，跳过
                continue;
            }
            backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串
            path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经添加的子串
        }
    }
    void computePalindrome(const string& s) {
        // isPalindrome[i][j] 代表 s[i:j](双边包括)是否是回文字串 
        isPalindrome.resize(s.size(), vector<bool>(s.size(), false)); //根据字符串s, 刷新布尔矩阵的大小
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { 
            // 需要倒序计算, 保证在i行时, i+1行已经计算好了
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (j == i) {isPalindrome[i][j] = true;}
                else if (j - i == 1) {isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j]);}
                else {isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j] && isPalindrome[i+1][j-1]);}
            }
        }
    }
public:
    vector<vector<string>> partition(string s) {
        result.clear();
        path.clear();
        computePalindrome(s);   //事先计算s的所有子串是不是回文子串
        backtracking(s, 0);
        return result;
    }
};