关于求最大公约数

最近看programming pearls  第二章   源码中有

求最大公约数的代码。。看不太懂

于是查到原理如下：（顺便简单叙述下两种求最大公约数的方法）

（ps:以下大部分内容来自互联网，会有少量个人注解）

一、更相减损法

更相减损术,又称"等值算法"

关于约分问题,实质是如何求分子,分母最大公约数的问题。《九章算术》中介绍了这个方法,叫做”更相减损术”,数学家刘徽对此法进行了明确的注解和说明,是一个实用的数学方法。

例：今有九十一分之四十九,问约之得几何?

我们用(91,49)表示91和49的最大公约数.按刘徽所说,分别列出分子,分母。

“以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之,等数约之,即除也,其所以相减者皆等数之重叠,故以等数约之。”

译文如下：

约分的法则是：若分子、分母均为偶数时，可先被2除，否则，将分子与分母之数列在它处，然后以小数减大数，辗转相减，求它们的最大公约数，用最大公约数去约简分子与分母。

其与古希腊欧几里德所著的《几何原本》中卷七第一个命题所论的相同。列式如下:

91 49

42 49

42 7

35 7

28 7

21 7

14 7

7  7

这里得到的7就叫做“等数”,91和49都是这等数的重叠(即倍数),故7为其公约数.而7和7的最大公约数就是7,(7,7)=7,所以(91,49)=(42,7)=(7,7)=7

更相减损术在现代仍有理论意义和实用价值.吴文俊教授说:“在我国,求两数最大公约数即等数,用更相减损之术,将两数以小减大累减以得之,如求24与15的等数,其逐步减损如下表所示:(24,15)->(9,15)->(9,6)->(3,6)->(3,3)

每次所得两数与前两数有相同的等数,两数之值逐步减少,因而到有限步后必然获得相同的两数,也即所求的等数,其理由不证自明。

这个寓理于算不证自明的方法,是完全构造性与机械化的尽可以据此编成程序上机实施”.吴先生的话不仅说明了此法的理论价值,而且指明学习和研究的方向.

代码实现如下：

int gcd(int a,int b)
{
    while(a!=b)
    {
       if(a>b)
           a-=b;
       else
           b-=a;
    }
    return a;
}

二、辗转相除法

自然语言描述
　　辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：
　　1. 若 r 是 a ÷ b 的余数，则
　　gcd(a,b) = gcd(b,r)
　　2. a 和其倍数之最大公因子为 a。
　　另一种写法是：
　　1. a ÷ b，令r为所得余数（0≤r<b）
　　若 r = 0，算法结束；b 即为答案。
　　2. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

 

原理及其详细证明
　　设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。
　　第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc
　　第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
　　第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
　　第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c】
　　从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
　　证毕。

代码实现如下

//递归
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
       return a;
    else
       return gcd(b,a%b);
}
 
//循环
int gcd(int a,int b)
{
    int r;
    while(b!=0)
    {
       r=a%b;
       a=b;
       b=r;
    }
    return a;
}

对于求最大公约数都没有仔细研究过。。。鄙视自己。。

更相减损法（等值法）更是都没有听说过。。。严重怀疑自己知识面。。。。

个人觉得等值法效率更高，只存在加减。。