Word2Vec 是 google 在2013年提出的词向量模型，通过 Word2Vec 可以用数值向量表示单词，且在向量空间中可以很好地衡量两个单词的相似性。
1. 词向量
让计算机理解人类的语言是一件很 Cool 的事情，而首先要做的就是将单词表示成一个数值向量（称为词向量)，以方便计算机处理。比较直观的做法有one-hot 编码和共现矩阵等。
1.1 one-hot 编码
one-hot 编码，首先构造一个容量为 N 的词汇表，每个单词可以用一个 N 维的词向量表示，词向量中只有单词在词汇表的索引处取值为 1，其余为 0。
one-hot 编码主要的缺点是：当词汇表的容量变大时，词向量的特征空间会变得很大；另外 one-hot 编码不能区分单词之间的相似度。
1.2 共现矩阵
还是刚刚的词汇表，假设现在语料库中只有三个句子 “I have a cat”、“cat eat fish”、“I have a apple”，则可以构造出单词间的共现矩阵 A。例如 “I” 和 “have” 在两个句子中共同出现过，因此在 A 中的权重为 2；而 “I” 和 “cat“ 只在一个句子中共现， A 中权重为 1 。
矩阵 A 的每一行就代表了一个单词的词向量，与 one-hot 编码类似，使用共现矩阵的词向量的维度也非常大。也可以使用 SVD (奇异值分解) 对 A进行分解，从而得到更低维度的词向量，但是 SVD 算法的时间复杂度较高，对 n×n 的矩阵进行 SVD 分解的复杂度为 O(n^3) 。
2. Word2Vec
Word2Vec 是一种浅层神经网络，包含输入层 x，隐藏层 h和输出层 o。输入层、输出层的维度为 N (词汇表的大小)，隐藏层维度为 D (词向量的维度)。输入层与隐藏层之间的网络权重矩阵为 V(N×D)，输入层与隐藏层之间的网络权重矩阵为 V'(N×D)。
Word2Vec 输入层 x 接收单词 a 的 one-hot 编码，输出层 o 计算出所有单词出现在单词 a 上下文的概率，概率用 softmax 计算。Word2Vec 在语料库中训练，使单词出现的条件概率尽可能符合语料库中的分布。训练完后，神经网络的权重向量矩阵 V就是最终的词向量矩阵，而 V' 是词作为预测输出时的向量矩阵。
Word2Vec 有两种模型 CBOW 和 Skip-Gram，两种模型的区别在于 CBOW 使用上下文词预测中心词，而 Skip-Gram 使用中心词预测其上下文单词。图为 Word2Vec 论文中的 CBOW 和 Skip-Gram 模型图，接下来介绍 Skip-Gram 和 CBOW。
2.1 CBOW
注意下面的描述中 w(x) 表示第 x 个单词，v(x) 表示第 x 个单词对应的词向量, v'(x) 表示预测输出时对应第 x 个单词的权重向量
给定一个句子 [w(1), w(2), w(3), ..., w(T)]，对于任意一个单词 w(t)，其上下文单词包括 [w(t-c), ..., w(t-1), w(t+1), ..., w(t+c)]，c 为上下文窗口的大小。
CBOW 希望通过上下文单词 [w(t-c), ..., w(t-1), w(t+1), ..., w(t+c)] 预测中心词是 w(t) 的概率，因此输入到神经元的有 2c 个 one-hot 编码。实际上是把上下文单词 [w(t-c), ..., w(t-1), w(t+1), ..., w(t+c)] 对应的词向量的均值传入神经网络的隐藏层 h(如下公式)，然后计算输出单词 w(t) 的概率。
因此对于一个句子 [w(1), w(2), w(3), ..., w(T)]，CBOW 需要最大化以下目标函数，其中概率使用 softmax 计算：
2.2 Skip-Gram
Skip-Gram 与 CBOW 不同，给定一个句子 [w(1), w(2), w(3), ..., w(T)]，对于任意一个中心词 w(t)，需要计算上下文单词的 [w(t-c), ..., w(t-1), w(t+1), ..., w(t+c)] 的概率。因此需要最大化以下目标函数：
3. 优化方法
优化 CBOW 和 Skip-Gram 都需要计算 softmax，其中需要在所有单词上进行求和，效率低下，一般可以采用两种优化方法：Hierarchical softmax 和 Negative sampling。
3.1 Hierarchical softmax
对于一个 N 分类问题，softmax 可以求出每一个类的概率，并且 N 个类的概率之和为1。Hierarchical softmax 简化了 softmax 的计算，采用二叉树结构 (可以使用霍夫曼树优化)，把一个 N 分类问题转换成 log N 个二分类问题。
其中 n 表示节点，n(w, j) 表示从根节点到单词 w 路径上的第 j 个节点，n(w, 1) 表示从根节点，L(w) 表示从根节点到单词 w 的路径长度。
输入单词的词向量为 v(x)，则到达某一节点 n(w, j) 后往左子树走和往右子树走的概率分别为：
而通过单词 v(x) 观察到其上下文单词 w 的概率可以如下计算：
3.2 Negative sampling
Negative sampling 是负采样算法，给定训练样本单词 x 和 x 的上下文单词 pos。负采样算法将 pos 作为 x 的正样本，然后从词汇表中随机采样 k 个单词 neg 构成负样本，然后最大化通过 x 观察到 pos 的概率，最小化通过 x 观察到负样本 neg 的概率。需要最大化如下目标函数：
每个单词被采样作为负样本的概率如下：
4. 总结
Word2Vec 的优点：模型简单；训练速度快；训练中会考虑单词的上下文。
Word2Vec 的缺点：上下文窗口较小，也没有使用全局的单词共现信息；每个单词的词向量是固定的，无法解决一词多义的问题。
参考文献
《Distributed Representations of Sentences and Documents》
《Efficient estimation of word representations in vector space》
《word2vec Parameter Learning Explained》