微积分的建立

微积分的先驱

解析几何的问世，使得代数方法应用于几何；当时的科学技术对变量的研究提出了更高要求，变量也被引入数学，成为微积分的基石；另一个关键因素则是函数概念的建立。17世纪上半叶，欧洲取得了天文学和力学领域的重大进展。极具代表的人物是开普勒和伽利略。开普勒的行星运动定理正是用了积分中“微元法”，用无数无限小的元素之和去求曲边形的面积和旋转体的体积，把阿基米德发明的球体积公式做了进一步的一般推广。伽利略的门徒卡瓦列利则发展了“不可分量”的理论，即线、面、立体分别是由无限多个点、线、面组成。因此，他给出了正整数幂函数的定积分；英国数学家沃利斯则给出了根式函数的定积分。笛卡尔和巴罗分别采用代数方法“圆法”和几何方法“微分三角形”的方法，试图求得一般曲线的切线；费尔马则用微分学的方法求取函数的极值。

站在巨人的肩膀上

想必人人都熟悉牛顿说过一句话：如果我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。这当然不难理解，牛顿的重大发现是在前人的基础上的，微积分也是如此。在牛顿之前，已有费尔马这些先驱，已经意识到微积分的一些方法，这些人就是牛顿眼里的巨人了。

牛顿在1665年11月发明了“正流数术”(微分学)，次年发明了“反流数术”。与之前研究微积分的学者不同，牛顿把微分和积分作为矛盾的对立面一起考虑。牛顿从运动学的角度在《流数法与无穷级数》中对微分和积分给出了广泛明确的说明。只是他把变量称作“流”，变量的变化率叫做“流数”，因此成为“流数术”。牛顿将他的正、反流数术应用于切线、曲率、拐点、曲线长度、引力等问题的计算。

比牛顿稍晚一些，德国数学家莱布尼茨独立地从几何学的角度发现微积分理论，只是莱布尼茨更早的发表。因此，引发了持久的优先争论。莱布尼茨最先在帕斯卡尔的一篇关于圆的论文中获得灵感；莱布尼茨引入了积分符号，给出了幂级数的微分和积分公式；对微积分，莱布尼茨意识到“求切线不过是求差，求积不过是求和”；确定了微积分基本定理。

莱布尼茨在巴黎的四年里，幸运的遇见了惠更斯，得到了惠更斯的悉心指导。由于那个时代的数学基础还十分有限，而莱布尼茨勤奋好学，莱布尼茨在数学上发明了微积分；发明了二进制，并制造了机械计算机；建立了行列式理论；发现了圆周率的无限级数表达式这个公式结束了圆周率的精确计算的竞争，要知道在古代的数学上，圆周率的研究和计算一定程度上代表了该时代的数学水平。

莱布尼茨的数学学习虽然得到了惠更斯的指导，但他真正的老师好像是费尔马和帕斯卡尔，莱布尼茨在数学上的一生成就，大都与帕斯卡尔有着密切的关系，他始终关注着帕斯卡尔的研究。这在西方的数学史上并不罕见，反而是中国的古代数学所欠缺的。对于莱布尼茨来说，惠更斯、费尔马、尤其帕斯卡尔就是他的巨人。数学的研究需要这样的传承。

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