线性代数-第五课,第六课,第七课,第八课

第五课

判断某向量是否可由某向量组线性表示

把向量组组成一个行列式,计算行列式的秩

把所有向量放在一起构成一个行列式,计算行列式的秩

如果两个行列式的秩相等,表示可以线性表示,写答案的格式如下

线性表示:b=k1a1+k2a2+k3a3

判断某个向量组是否线性相关

把所有向量组成一个行列式,行列式的秩小于向量个数,则线性相关,如果秩等于向量个数,则线性无关

秩一般用R表示

求向量在基底下的坐标

默认线性相关,列出相等的式子,一一对应相等然后进行求解即可

求极大无关组

把所有向量写在一起,然后求秩,把前面三行的序号写下来就是最后的答案,前面的序号随着行的变化需要发生变化

第六课

根据秩的情况判断方程的解

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其实就是把方程的系数列到一个行列式里面,没有系数的补充0,然后计算秩,非齐次方程多计算一个常数,然后就是比较秩和未知数之间的关系,主要是要记住表格,条件和结论是一一对应的

解方程组

步骤如下
1.把所有系数和常数列到行列式里面,求出一个秩
2.以秩作为评价标准,把行列式的前面R行,R列转换为E,R表示的是秩的大小,E表示的是对角线等于1,其余数字都等于0
3.根据2得到一个方程组
4.设n个未知数k,n=未知数个数-R
5.用k代替未知数,从最后一个未知数开始替换,最后算出结果即可,还是需要注意补全系数
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通解,特解,基础解系

通解就是前面求出来的解

特解是随意给k赋值得到的解
(一般令k=0比较方便计算,可以直接写答案了)

基础解系就是把k的系数拿下来作为答案即可

已知特解求通解

设n个k,n=未知数个数-R,R表示秩的数目
然后把已知的条件代入求解,进行各种加减乘除的代数运算,最后的答案是k乘以x

非齐次方程多一个特解,其他的基本上是一样的

线性无关的解向量个数

齐次方程:未知数个数➖秩序,未知数个数等于矩阵列数
非齐次方程:比齐次方程多1

第七课

规范正交化

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中括号的意思是两个向量的数值对应相乘再求和,中括号表示的是最后的这个和,和的数值

双竖线的意思是,每一个元素的平方和取根号,双竖线表示的是最后的结果,是一个数字

其实计算还是不难,最大的问题就是公式是否能记得清楚,考试的时候没有表格可以对照,不是开卷考试

求矩阵的特征值

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代入计算即可,注意次方数是多少,就对应有多少个答案,这个答案可以相等,但是必须有,属于格式问题

求矩阵的特征向量

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把前面的知识代入求解这个方程的通解即可,算是比较综合,因为要求特征值,通解等

方阵是否与对角阵相似

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本质上就是求特征向量,然后看特征向量的个数和方阵的阶数是否相等

求对角阵及可逆变换矩阵

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和前面的联系比较紧密,按部就班计算即可

求复杂式子

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P表示的是可逆变换矩阵

最后的符号表示的是可逆变换矩阵的转置

相关的知识有,特征值,特征向量,转置,矩阵乘法

第八课

求二次型对应的系数矩阵

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先套公式求出系数,对应系数相等的办法求出a,然后把a填入矩阵里,以对角线作为对称轴把整个矩阵补全,就是我们要求的系数矩阵

把二次型化成标准型,求变换矩阵P

在这里插入图片描述
系数矩阵的可逆变换矩阵就是变换矩阵P

规范形

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又是一个需要记忆的公式
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变换矩阵用这个来进行计算,P表示之前求的可逆变换矩阵

配方法

配方直到不存在两个x相乘的项

正定性

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顺序主子式是什么意思,有几行就有几阶顺序主子式,前面一行一列,前面两行两列,前面三行三列

正定的等价条件

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等价条件基本都是大于0的东西

结语

都还是比较简单,主要还是自己要耐心的去记,把例题一遍一遍的算,这样才可以弄熟练,熟能生巧

还是网课视频友好一些,看文档或者pdf速度虽然快一些,但是很容易卡住,因为不具有一定的前置知识,而且看书的难度确实要高一些,就像看题目的题解,远不如看视频讲解直观易懂

因为备考时间有限,准备把例题做熟练之后还有时间就做最多三套以前考试的真题,一方面贪多嚼不烂,另一方面自己还有别的考试科目需要复习哈哈

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