算法设计与分析笔记之自身规约

判定问题和优化问题

• 判定问题：是否存在一个...(如小于k的点覆盖)
• 优化问题：找出最大/最小的...(最小点覆盖)

因为NPC问题的答案是简单的“是”或“否”（存在或不存在），不适合直接应用于最优化问题，但适合用于判定问题。
尽管证明一个问题是NP完全问题会让我们的目光局限在判定问题。但我们可以利用最优化和判定问题之间存在的关系，对优化的值强加一个界，就可以将一个给定的最优化问题转化为一个相关的判定问题了。这就是自身规约。
自身规约就是将求解（最优化）问题规约到一个判断问题上。

自身规约练习

Ⅰ. 如果存在一个多项式时间算法判断一个图是否存在一个长度为k的路径，则存在一个多项式时间算法要么找到图中一个长度为k的路径要么证明此图不存在长度为k的路径
pf.
假设存在判断一个图G是否存在一个长度为k的路径的多项式时间算法A。
首先用它判断图G是否存在一个长度为k的路径，若不存在，则结束；若存在，则在图中删除一条边e，再用A判断图G=(V, E-e)中是否存在长度为k的一条路径。
若存在，则将该边从图中彻底删除；若不存在，则保留这条边（或者把该边加入这个路径的边集合中）。
重复上述操作，直到图中剩下的就是长度为k的一条路径。

Ⅱ.如果能在多项式时间内判断一个图是否存在一个长度至少为k的路径，那么就可以在多项式时间内找到这个图的一条最长路径
pf.
假设判断出图G=(V, E)，存在一个长度至少为k的路径。然后依次加一，直到找出最长路径kmax。
则选取任一边e，在图G=(V, E-e)中判断是否还存在一条长度至少为kmax的路径。
若存在，则在图中删除该边；若不存在，则保留该边（最长路径经过的边e）。
对所有边进行上述操作，最终图中剩下的就是这条最长路径。

解题步骤

1. 设该判断算法为A，假设判断出图中存在...（大小为k的...）
2. 删除一条边（或点，看具体是边集还是点集的问题），对删除边（点）后的图运行判断算法A
3. 若图中还存在...（大小为k的...），则从图中彻底删除该边（点）；若不存在，保留该边（点）
4. 对所有的边（点）调用算法A执行上述操作，最终剩下的就是...（大小为k的...）