矩阵

矩阵的优点

1. 能够将一次方程组很清楚的表达出来
2. 可以减轻教师在黑板上书写的辛苦
3. 可以减少书籍的用纸量

矩阵的表示

矩阵的运算

和

差

倍数

积

注意：

1. 不能交换相乘顺序
2. 必须满足左边矩阵的列数 = 右边矩阵的行数时才能相乘

3. n阶方的p次幂

   
   
   
   

   等价于

   
   
4. 如果多个矩阵相乘，则从左往右依次相乘即可

特殊矩阵

零矩阵

所有元素均为0的矩阵

转置矩阵

行列互换的矩阵

对称矩阵

以对角元素为中心线对称的n阶方阵

1. 对称矩阵 = 转置矩阵

上三角矩阵

在对角元素左下角的所有元素均为0的方阵

下三角矩阵

在对角元素右下角的所有元素均为0的方阵

对角矩阵

对角元素以外的元素均为0的方阵

1. 对角线的乘法

   
   

单位矩阵

对角元素均为1，其他元素全为0的方阵

1. 单位矩阵与任何矩阵相乘都没有影响

逆矩阵

与原方阵的积等于单位矩阵的方阵就是原方阵的逆矩阵

逆矩阵的求解方法

代数余子式法（非常麻烦，不实用）

消元法（比较简单）

对比一下不同解法：

将求逆矩阵的问题转化成求一次方程组的问题

1. 原来的矩阵 与 逆矩阵 的相乘顺序不影响结果

2. 逆矩阵的表示：

   
   

3. 对于2阶方阵还有其他算法：

   
   
4. 存在逆矩阵的方阵叫做可逆矩阵

行列式

行列式指标 判断 是否存在逆矩阵
det是决定因子（determinant）的缩写

如果行列式的值不为，则该矩阵存在逆矩阵

求解行列式值的方法

不同的方阵求解行列式值的方法也不同

1. 2阶方阵
   公式：

   
   
   
   

   诀窍：

   
   
   
   几何意义：

2. 3阶方阵
   公式：沙路法则

   
   
   
   

   诀窍：

   
   
   
   几何意义：
   
3. 4阶以上的方阵

• 4阶以上的方阵没有计算公式
• 行列式的3个规律

  • 规律一：各项左边的行标都是从1开始的整数

    
    
  • 规律二：
  • 规律三：