线性代数 --- 为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

笔者的一些话：

        为什么LU分解中L矩阵的主对角线上都是1？因为最近一段时间在研究LU分解的编程实现，这个问题也就时不时的从我脑子里面冒出来。但大多时候都是一闪而过，没有太在意。有时候，查了一些资料后，明白了，或者是当时明白了，又或者是似乎明白了，没过多久又忘了。索性趁着这两天有空，干脆写一篇CSDN记录下来，自己以后要看了，就回来翻翻。

正文：

        一方面，对于LU分解而言，下三角阵L是对高斯消元过程的记录，是高斯消元的逆过程，是多个消元矩阵E的逆矩阵的乘积(形如下图中的下三角矩阵)，即：

        另一方面，根据矩阵的乘法原则两个矩阵A和B的乘积C中的元素，来自于矩阵A中第i行元素与矩阵B中第j列元素的乘积。下图是我引用的维基百科中一个4x2矩阵A和一个2x4矩阵B的乘法的说明图。

 

如图，在本例中矩阵C中的元素源自于矩阵A第一行和矩阵B第二列的乘积。 

        如果把这个规律放到一系列消元矩阵的逆矩阵(且是方阵)的乘法运算中就会发现，在计算L矩阵中主对角线上元素时，其他部分的乘积都是0，最终只剩下主对角线上对应位置的乘积为1。

例如：

        以4x4矩阵为例，不论这两个矩阵中的X和Y是多少，主对角线上的元素一定是1。我们以的计算为例(其他也相仿)，他等于前一个矩阵的第2行，乘以后面矩阵的第2列：

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（全文完）

作者 --- 松下J27 

 参考文献(鸣谢)：

1，https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

2，线性代数 --- LU分解（Gauss消元法的矩阵表示）_矩阵的lu分解-CSDN博客

（配图与本文无关） 

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