第二部分 离散型随机变量

目录

求分布律里的未知数

例1

例2

根据X的分布律写Y的分布律

例3

根据(X,Y)的分布律写Z的分布律

例4

根据(X,Y)的分布律写边缘分布律 

例5

X与Y相互独立时的联合分布律 

例6

根据分布律求期望、方差 

例7

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求分布律里的未知数

例1

已知X的分布律为

X	-2	0	2
P	0.4	0.3	k

,试求k

解
0.4+0.3+k=1  →   k = 0.3 

例2

设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X\Y	0	1
0
1	a

解

2/3+1/12+a+1/12=1  →  a=1/6

根据X的分布律写Y的分布律

例3

已知X的分布律为

X	-2	0	2
P	0.4	0.3	0.3

求Y=X*X+1的分布律

方法：
在分布律中X以及X的取值是可以同时变化的
例如

X*2	-2*2	0*2	2*2
P	0.4	0.3	0.6

X*X	(-2)*(-2)	0*0	2*2
P	0.4	0.3	0.3

本题我们需要下面这个表

X*X+1	(-2)*(-2)+1=5	0*0+1	2*2+1=5
P	0.4	0.3	0.3

解

Y	1	5
P	0.3	0.7

根据(X,Y)的分布律写Z的分布律

例4

已知(X,Y)的分布律为

X\Y	-1	0	1
0	0		0
1		0

求Z=XY的分布律

X\Y	-1	0	1
0	Z=0*(-1)=0	Z=0*0=0	Z=0*1=0
1	Z=1*(-1)=1	Z=1*0=0	Z=1*1=0

Z	-1	0	1
P

根据(X,Y)的分布律写边缘分布律 

例5

已知(X,Y)的分布律为

X\Y	-1	0	1
0	0		0
1		0

求随机变量X，Y的边缘分布律

解

X	0	1
P		+=

Y	-1	0	1
P

根据(X,Y)分布律，对应的值的概率为该行或该列的概率的和

X与Y相互独立时的联合分布律 

例6

设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处

X\Y	y1	y2	y3	P{X=xi}
x1	?		?	?
x2		?	?	?
P{Y=yj}		?	?	?

方法一：
每一列的和等于最下面的数P{Y=yj}，每一行的和等于最右边的数P{X=xi}

方法二：
右下角的数为1，最下边所有数P{Y=yj}的和等于1，最右边所有数P{X=xi}的和等于1

方法三：
当X与Y相互独立时，每个空的概率都等于其最下面的数P{Y=yj}×其最右边的数P{X=xi}

解

X\Y	y1	y2	y3	P{X=xi}
x1
x2
P{Y=yj}				1

根据分布律求期望、方差 

例7

已知X的分布律为

X	-2	0	2
P	0.4	0.3	0.3

Y的分布律为

Y	1	5
P	0.3	0.7

试求(EX、EY、E(X^2)、E(Y^3+1)、E(3X+5Y+7))求期望、(DX)求方差

解
对于单一字母的期望
期望的值为每列上面的数×下面的数相加
EX=-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2

EY=1×0.3+5×0.7=3.8

X*X	(-2)*(-2)=4	0*0	2*2=4
P	0.4	0.3	0.3

E(X^2)=(-2)×(-2)×0.4+0×0×0.3+2×2×0.3=2.8

Y^3+1	1^3+1=2	5^3+1=126
P	0.3	0.7

E(Y^3+1)=(1^3+1)×0.3+(5^3+1)×0.7=88.8

对于E(3X+5Y+7)
方法：
E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c

E(3X+5Y+7)=3EX+5EY+7=3×(-0.2)+5×3.8+7=25.4

对于DX
方法：
DA=

DX=E(X^2)-(EX)^2=2.8-(-0.2)^2=2.76