蔡勒公式的推导过程

　　星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六 天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生 活，而星期日是休息日。从实际的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。所以尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》中的“十旬休暇”，即是 指官员的工作每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。

　　在日常生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候，我们还想知 道历史上某一天是星期几。通常，解决这个方法的有效办法是看日历，但是我们总不会 随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中 计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通 过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？

　　答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如，知道 了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出 来。我们可以掰着指头从1日数到31日，同时数星期，最后可以数出5月31日是星期一。 其实运用数学计算，可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的，所以5月1日是星 期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。同样，5月15 日、5月22日和5月29日也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28，也 都是7的倍数。那么5月31日呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，但是31除以7，余数为2， 这就是说，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。

　　这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：首先，先要知道在想算的日子 之前的一个确定的日子是星期几，拿这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计算的 “原点”。其次，知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，用7除这个日期 的差值，余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是 0，就表示这两天的星期相同。显然，如果把这个作为“原点”的日子选为星期日，那
么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。

　　但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月 1日之间相隔7947天，就不是一下子能算出来的。它包括三段时间：一，1982年7月29 日以后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个整年的全部天数；三，从2004年 元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加 5，是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了，比如第三段，需要把 5月之前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第 一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是155天。 所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。

　　仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为12月31日，那么第一段时间也就是一个整年，这样一来，第一段时间和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两 个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日（或者天文 学家所使用的公元0年12月31日），这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这 样简化之后，就只须计算两段时间：一，这么多整年的总天数；二，想算的日子是这一 年的第几天。巧的是，按照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日正好是 星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就 只有一个：这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。

　　我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在 2月加一天，但能被100整除的不闰，能被400整除的又闰。因此，像1600、2000、2400 年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公历也是闰年。

　　因此，对于从公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年中的闰年数，就等于

　　[ (Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]

　　[…]表示只取整数部分。

　　第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去掉 被100整除的年份数，第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一，这 样，我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式：

　　W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)

　　其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12月 31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。比如我们来 算2004年5月1日：

　　W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] + (31+29+31+30+1)
　　　= 731702，

　　731702 / 7 = 104528……6，
　　余数为六，说明这一天是星期六。这和事实是符合的。

　　上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔细想想，其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是 不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语 来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。
　　显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。
　　其实，

(Y-1)365 = (Y-1) (364+1) = (Y-1) * (7*52+1) = 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)，

　　这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此(Y-1)*365除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为：

(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．

其中，≡是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情况下≡号两边的数是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，这样我们就得到 了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　　这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各个月的日数，列表如下：

月份	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
天数	31	28(29)	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31

　　如果把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张表：

月份	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
剩余天数	3	0(1)	3	2	3	2	3	3	2	3	2	3
平年累积	3	3	6	8	11	13	16	19	21	24	26	29
闰年累积	3	4	7	9	12	14	17	20	22	25	27	30

　　仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2, 3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中，后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达：

　　　　　　　　　　（3）

　　其中[…]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年 i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下：[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对2004年5月1日，有：

D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1 = 122，

　　这正是5月1日在2004年的累积天数。

　　假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不仅仍 然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：

D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)

　　上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7+ (M-1) * 28 + d．

　　因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变，公式变成：

W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d． 　　　　　　　　　　　　　　　　(5)

　　当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，因此在计算1月和2月的日子 的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。比如，2004年1月1日是星期四，用这 个公式来算，有：

W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5]+ 1
　= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1
　= 2524；

2524 / 7 = 360……4．这和实际是一致的。

　　公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列表如下：

年份	星期
1(401,801,…2001)	4
101(501,901,…,2101)	2
201(601,1001,…,2201)	0
301(701,1101,…,2301)	5

　　可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301)年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此，我们可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6)

　　式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于2001年3月1日，C=20，则：

W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
　 = 8 - 4
　 = 4．

　　把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得：

(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1(mod 7) 　　　　　　　　　　　　　　　　(7)

　　因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项，在计算每个世纪第一年的期的星期时，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写出来就是：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8)

　　有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。因为在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年，因此就用不着再考虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公式(2)的方法，我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式：

W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(9)

　　式中，y是年份的后两位数字。

　　如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系：

4q + r = C，

其中r即是 C mod 4，因此，有：

r = C - 4q
　= C - 4 * [C/4]． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (10)

　　则

(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2
　　　　　　　　＝ 8 - 2C + 8 * [C/4]
　　　　　　　　≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (11)

　　把式(11)代入(9)，得到：

W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12)

　　这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月，C和y都按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’s Formula）。为方便口算，式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。

　　现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒公式，有：

W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1
　= -15．

　　注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得到55。再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结果一致。

　　最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：

W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)