Weighted Filtered Back-Projection for Source Translation Computed Tomography Reconstruction
用于源平移计算机断层扫描重建的加权滤波反投影
论文链接：https://ieeexplore.ieee.org/document/10225315
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Abstract
微计算机断层扫描(micro-CT)是科学研究中提供基于衰减的高分辨率三维图像不可或缺的工具。然而，它目前可用的配置限制了可以成像的对象的大小。在此之前，我们提出了一种多源平移计算机断层扫描(mSTCT)成像几何来扩展micro-CT的视场(FOV)，并开发了一种相应的重建算法，称为基于虚拟投影的滤波反投影(V-FBP)。当源被密集采样时，V-FBP实现高分辨率重建，但如果源被粗采样则失败。在本文中，为了在低源采样率下实现高分辨率重建，我们提出了一种全扫描多重STCT (F-mSTCT)扫描配置，该配置允许一个简单有效的加权函数同时处理数据冗余和截断。基于这一概念，我们开发了一种加权FBP (W-FBP)算法。数值和物理实验表明，W-FBP能够在低源采样率下重建高分辨率图像，并且在相同分辨率下，与V-FBP相比，W-FBP可以减少1/2-3/4的投影。
I. INTRODUCTION
微计算机断层扫描(MICRO-COMPUTED tomography, micro-CT)通过检测X射线穿过试样后的强度衰减，无创地获取内部结构信息，已广泛应用于无损检测[1]、[2]、材料科学[3]、[4]、[5]、矿物学分析[6]、[7]和医学研究[8]、[9]等领域。然而，其有限的视场限制了其应用场景。已经开发了几种成像几何形状来扩展 micro-CT的视场，包括探测器偏移[10]，[11]，横向连续旋转扫描[12]，旋转-平移-平移多扫描模式[13]，[14]，旋转-平移多扫描模式[15]，[16]，椭圆轨迹[17]，互补圆形扫描[18]，旋转探测器[19]。最近，我们的研究小组开发了一种多源平移计算机断层扫描(mSTCT)成像几何结构，用于扩大视场[20]。mSTCT的特点是通过改变平行于平板探测器(FPD)的X射线源轨迹的长度来调节视场大小。
然而，几乎所有用于扩展视场的图像几何形状都面临着投影数据被截断的问题，这给通过分析算法重建无伪影图像带来了挑战。截断的投影数据经过滤波后，在截断点会产生吉布斯现象。这是因为大多数过滤运算符需要整个未截断的投影。在截断投影中，穿过照明边界的不连续将被滤波步骤放大，从而导致边界处的振幅被放大。放大后的值会错误地传播到边界附近的像素，并在重建图像中提高其像素值，导致反向投影后在照明边界附近的像素值爆发，产生明亮的条纹伪影[21]。
虽然迭代算法[22]、[23]、[24]和深度学习技术[25]、[26]、[27]、[28]、[29]对于一些困难的逆问题更加灵活有效，但解析算法在对各种类型的物体成像时仍然是一种有效、可靠、常用的方法。针对不同视场扩展成像几何形状中截断投影的解析算法分为三类。
第一种是基于backprojection-filtering (BPF)重建算法[30]。BPF的主要思想是通过对截断投影的导数进行反投影得到微分反投影(DBP)图像，然后利用Hilbert变换的有限逆公式从DBP图像恢复CT图像。由于微分是一个局部算子，并且在图像域内进行Hilbert变换，因此BPF可以减轻截断投影对整个重建图像的影响。在探测器偏移情况下，Leng等人[31]将BPF应用于扇束情况，Li等人[32]提出了该概念的锥束变体，Schäfer等人[33]开发了两种新的BPF变体，用于带偏心探测器的圆形CT。在旋转平移多扫描模式下，Chen等[34]提出了一种基于BPF的重建算法。
第二种方法基于虚拟几何学，它将真实的截断投影转化为虚拟的非截断投影，假设一组虚拟的源焦点，其射线投射在探测器（或虚拟探测器）上完全覆盖了对象。基于这一概念，Müller等[35]开发了旋转-平移-平移多扫描模式和旋转-平移多扫描模式的重建算法。之前，我们开发了一种基于虚拟几何的滤波反投影(V-FBP)算法用于mSTCT重建[36]。在V-FBP中，虚拟投影是一组发散到同一探测器单元的测量X射线。当X射线源采样密度较大时，V-FBP可以实现高质量、高分辨率的重建。但是，如果对X射线源进行粗采样，则会丢失高频信息。
第三种是基于加权方案，它利用互补投影视图中的数据冗余，通过对投影应用适当的加权方案来抑制由于弦图截断而产生的伪影。这种方法已广泛应用于探测器偏移情况。如Cho等人[37]提出在FDK算法滤波步骤前在重叠区域使用类似Parker加权的加权函数，可以有效处理截断的投影。随后，Wang[11]进一步优化了该加权FDK方法。最近，Sanctorum等[38]提出将冗余加权加入到同步迭代重建技术中，当检测器偏移量较大时，图像质量显著提高。
在本文中，我们提出使用加权函数来处理mSTCT中的截断投影，并推导出加权FBP (W-FBP)算法。该方法要求冗余投影数据区域包含截断的投影数据区域，这在mSTCT成像几何中是不满足的。因此，我们将mSTCT成像几何形状修改为全扫描多源平移CT (F-mSTCT)成像几何形状。在这里，W-FBP被开发为V-FBP的替代品，在粗采样X射线源的情况下。
本工作的主要贡献体现在以下几个方面。
-
提出了一种简化冗余加权的F-mSTCT成像几何结构。
-
针对F-mSTCT扫描，提出了一种W-FBP重构算法。
-
与V-FBP相比，W-FBP在相对较少投影的图像重建分辨率方面具有优势。
II. BACKGROUND
图1(a)为由多个STCT组成的mSTCT三维成像几何图。在每个STCT中，物体位于靠近X射线源的位置，远离固定的FPD，而X射线源沿着平行于FPD的直线平移，获得不同角度的投影。如果我们建立一个原点固定在旋转等心的笛卡尔坐标[图1©]，则每个STCT的源轨迹可以数学表示为：
S ⃗ θ i ( λ i ) = [ λ i , − l , 0 ] ⋅ A θ i , λ i ∈ [ − s , s ] (1) \vec{S}_{\theta_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}\lambda_i,-l,0\end{bmatrix}\cdot\mathbf{A}_{\theta_i},\quad\lambda_i\in[-s,s] \tag{1} Sθi(λi)=[λi,−l,0]⋅Aθi,λi∈[−s,s](1)
并制定探测器单元如下：
D ⃗ θ i ( u i ) = [ u i , h , 0 ] ⋅ A θ i , u i ∈ [ − d , d ] (2) \vec{D}_{\theta_i}(u_i)=[u_i,h,0]\cdot\mathbf{A}_{\theta_i},\quad u_i\in[-d,d] \tag{2} Dθi(ui)=[ui,h,0]⋅Aθi,ui∈[−d,d](2)
并且：
A θ i = [ cos θ i sin θ i 0 − sin θ i cos θ i 0 0 0 1 ] , i = 1 , … , T . (3) \left.\mathbf{A}_{\theta_i}=\left[\begin{array}{ccc}\cos\theta_i&&\sin\theta_i&&0\\-\sin\theta_i&&\cos\theta_i&&0\\0&&0&&1\end{array}\right.\right],\quad i=1,\ldots,T. \tag{3} Aθi= cosθi−sinθi0sinθicosθi0001 ,i=1,…,T.(3)
式中， l l l为源到等中心的距离， h h h为等中心到探测器的距离， s s s为每个源轨迹的一半长度， d d d为探测器的一半大小， θ i θ_i θi为平移角度， T T T为STCT的个数。在mSTCT中，相邻STCT之间的间隔角为：
Δ θ = θ i + 1 − θ i = 2 arctan ( d / h ) . (4) \Delta\theta=\theta_{i+1}-\theta_{i}=2\arctan(d/h). \tag{4} Δθ=θi+1−θi=2arctan(d/h).(4)
STCT的数量为：
T = ceil ( 180 + Δ θ − 2 α Δ θ ) . (5) T=\text{ceil}\biggl(\frac{180+\Delta\theta-2\alpha}{\Delta\theta}\biggr). \tag{5} T=ceil(Δθ180+Δθ−2α).(5)
其中， α α α表示文章[20]中所示的几何角度。ceil()函数的作用是：返回一个向上四舍五入到最接近整数的数值。通过这种配置，mSTCT为半径区域 R 1 R_1 R1内的每个点提供至少180◦投影覆盖：
R 1 = s h − d l ( l + h ) 2 + ( s + d ) 2 . (6) R_1=\frac{sh-dl}{\sqrt{(l+h)^2+(s+d)^2}}. \tag{6} R1=(l+h)2+(s+d)2sh−dl.(6)
III. METHOD
A. 主要思想
由于每个位置的源只照亮了物体的一部分，因此mSTCT采集几何形状会导致投影截断，这是重建中产生伪影的源之一。在本文中，我们建议在扫描几何中引入重叠区域来解决截断问题，因为我们可以在重叠区域中引入加权函数来平滑这些重叠区域中截断边界附近的投影数据。这种平滑将边缘梯度变为非奇异轮廓，消除了由截断引起的傅里叶空间中的高频分量。这里，用于处理投影截断的加权函数与用于处理重叠区域中的数据冗余的加权函数相同。换句话说，我们可以使用相同的加权方案来同时处理数据冗余和截断。
在这个概念中，重叠区域应该包含截断边界，这对在mSTCT配置中实现加权方案提出了两个挑战。
挑战1：图2(a)是示例性mSTCT的正弦图，其中每个STCT的正弦图沿检测器方向发生截断。然而，图2(b) 表明冗余只出现在第一个和最后一个STCT。在剩余的段中没有冗余的加权数据。
挑战2：即使减小平移角 θ i θ_i θi使每个STCT都出现冗余，如图2( c )所示，但mSTCT中存在两种冗余。这使得设计一个合适的加权函数来同时处理冗余和截断变得困难。
B. F-mSTCT
为了解决以上两个问题，本文提出了一种新的扫描模式。如图3(a)所示，STCT的数量如下：
T f = ceil ( 360 Δ θ ) (7) T_f=\operatorname{ceil}\left(\frac{360}{\Delta\theta}\right) \tag{7} Tf=ceil(Δθ360)(7)
相邻STCT之间的间隔角为：
Δ θ f = 360 T f . (8) \Delta\theta_f=\frac{360}{T_f}. \tag{8} Δθf=Tf360.(8)
我们称新的扫描模式为full mSTCT (F-mSTCT)，对应于全圆周扫描，其中视场内的所有点都有360度覆盖。此外，F-mSTCT中只存在一种冗余，且冗余区域与截断区域一致[图3(b)和( c )]，这使得设计一个加权函数同时处理冗余和截断是可行的。
C. 加权方案
权重函数的设计如图4所示。权重的计算分为两个步骤：冗余数据的识别和权重函数的构造。我们首先分析两个相邻的STCT(第i和i + 1个STCT)，因为每个STCT在F-mSTCT配置中具有相同的冗余。首先，为了识别冗余数据，我们用坐标 ( λ i , u i ) (λ_i, u_i) (λi,ui)对第i 个STCT中的每个X射线进行参数化，并给出如下定义。
- 定义[36]：表示 u i + 1 ∣ λ i , u i ⟩ u_{i+1}|λ_i, u_i⟩ ui+1∣λi,ui⟩为X射线 ( λ i , u i ) (λ_i, u_i) (λi,ui)与探测器 D ⃗ θ i + 1 \vec{D}_{\theta_{i+1}} Dθi+1所在的直线相交的点的局部坐标。将 λ i + 1 ∣ λ i , u i ⟩ λ_{i+1}|λ_i, u_i⟩ λi+1∣λi,ui⟩表示为X射线 ( λ i , u i ) (λ_i, u_i) (λi,ui)与源轨迹 S ⃗ θ i + 1 \vec{S}_{\theta_{i+1}} Sθi+1所在的直线的交点的局部坐标[如图4(a)所示]。
这意味着相同的X射线在第i个STCT中同时被 ( λ i , u i ) (λ_i, u_i) (λi,ui)和 λ i + 1 ∣ λ i , u i ⟩ λ_{i+1}|λ_i, u_i⟩ λi+1∣λi,ui⟩参数化，在(i +1)个STCT中分别为${(}\lambda_{i+1}|\lambda_{i},u_{i}\rangle),u_{i+1}|\lambda_{i},u_{i}\rangle $。因此，我们有如下等式：
p θ i ( λ i , u i ) = p θ i + 1 ( λ i + i ∣ λ i , u i ⟩ ) , u i + i ∣ λ i , u i ⟩ . (9) p_{\theta_{i}}(\lambda_{i},u_{i})=p_{\theta_{i+1}}(\lambda_{i+i}|\lambda_{i},u_{i}\rangle),u_{i+i}|\lambda_{i},u_{i}\rangle. \tag{9} pθi(λi,ui)=pθi+1(λi+i∣λi,ui⟩),ui+i∣λi,ui⟩.(9)
根据 [36] 中的准则 3.1，如果同时满足 λ i + i ∣ λ i , u i ⟩ λ_{i+i} |λ_i, u_i⟩ λi+i∣λi,ui⟩ 和 u i + i ∣ λ i , u i ⟩ u_{i+i} |λ_i, u_i⟩ ui+i∣λi,ui⟩，那么 p θ i ( λ i , u i ) p_{\theta_{i}}(\lambda_{i},u_{i}) pθi(λi,ui)和 p θ i + 1 ( λ i + i ∣ λ i , u i ⟩ ) , u i + i ∣ λ i , u i ⟩ p_{\theta_{i+1}}(\lambda_{i+i}|\lambda_{i},u_{i}\rangle),u_{i+i}|\lambda_{i},u_{i}\rangle pθi+1(λi+i∣λi,ui⟩),ui+i∣λi,ui⟩将构成一对冗余数据。
其次，权重函数的构造应满足以下条件。
-
对于冗余：连续函数将一对冗余射线加权为一条等效射线[39]。
-
对于截断(Truncation)：权重函数在非冗余和非截断区域的值为1，在冗余区域从1到0的平滑过渡，在截断区域的值为0[38]。
因此，我们开发了如下的权重函数：
w θ i ′ ( λ i , u i ) = { g ( u r − u i u r + d ) , if { λ i + 1 ∣ λ i , u i ⟩ ∈ [ − s , s ] 1 , else (10) w_{\theta_i}^{\prime}\big(\lambda_i,u_i\big)=\begin{cases}g\bigg(\frac{u_r-u_i}{u_r+d}\bigg),&\text{if}\bigg\{\lambda_{i+1}\big|\lambda_i,u_i\big\rangle\in[-s,s]\\1,&\text{else}\end{cases} \tag{10} wθi′(λi,ui)=⎩ ⎨ ⎧g(ur+dur−ui),1,if{λi+1 λi,ui⟩∈[−s,s]else(10)
其中：
g ( x ) = 0.5 + sin ( ( 0.5 − x ) π ) 2 , x ∈ [ 0 , 1 ] . (11) g(x)=0.5+\frac{\sin((0.5-x)\pi)}{2},\quad x\in[0,1]. \tag{11} g(x)=0.5+2sin((0.5−x)π),x∈[0,1].(11)
这里， u r = min ( u i ∣ λ i , d i + 1 ⟩ ) , u i ∣ − s i + 1 , λ i ⟩ u_{r}=\min(u_{i}|\lambda_{i},d_{i+1}\rangle),u_{i}|-s_{i+1},\lambda_{i}\rangle ur=min(ui∣λi,di+1⟩),ui∣−si+1,λi⟩。为保证只有一条等效射线，将第(i + 1)次STCT的权重函数设为：
w θ i + 1 ′ ( λ i + 1 , u i + 1 ) = { 1 − w θ i ′ ( λ i , u i ) , if { λ i + 1 = λ i + 1 ∣ λ i , u i ⟩ u i + 1 = u i + 1 ∣ λ i , u i ⟩ 1 , else. (12) w_{\theta_{i+1}}^{\prime}\begin{pmatrix}\lambda_{i+1},&u_{i+1}\end{pmatrix}= \begin{cases}1-w_{\theta_i}^{\prime}\left(\lambda_i, u_i\right), & \text { if }\left\{\begin{array}{l} \lambda_{i+1}=\lambda_{i+1}\left|\lambda_i, u_i\right\rangle \\ u_{i+1}=u_{i+1}\left|\lambda_i, u_i\right\rangle \end{array}\right. \\ 1, & \text { else. }\end{cases} \tag{12} wθi+1′(λi+1,ui+1)=⎩ ⎨ ⎧1−wθi′(λi,ui),1, if {λi+1=λi+1∣λi,ui⟩ui+1=ui+1∣λi,ui⟩ else. (12)
算法1中列出了计算权重的伪代码。图4(b)为每个STCT投影可使用的计算权值，图4( c )显示，加权后截断部分的投影值沿u方向平滑过渡为0。
D. W-FBP算法
在本节中，我们首先推导了STCT的W-FBP算法。基于平行束几何的FBP算法和图1( c )中的STCT几何，STCT的FBP初始形式可表示为：
f θ ( x , y ) = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ − ∞ + ∞ p θ ( λ , u ) ⋅ q ( x cos φ + y sin φ − r ) d r d φ . (13) \begin{aligned}f_\theta(x,y)&=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}p_\theta(\lambda,u)\cdot q(x\cos\varphi+y\sin\varphi-r)\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi.\end{aligned} \tag{13} fθ(x,y)=21∫02π∫−∞+∞pθ(λ,u)⋅q(xcosφ+ysinφ−r)drdφ.(13)
这里， p θ ( λ , u ) p_θ (λ,u) pθ(λ,u)是STCT投影， q ( x ) q(x) q(x)是spatial滤波器的空间卷积核， φ \varphi φ是从y轴到X射线逆时针测量的角度， r r r是从原点到X射线的带符号距离。 ( r , φ ) (r,\varphi) (r,φ)是关于 ( λ , u ) (λ,u) (λ,u)的函数，如下：
φ = θ − arctan ( u − λ l + h ) r = u l + λ h ( l + h ) 2 + ( u − λ ) 2 . (14) \begin{aligned}\varphi&=\theta-\arctan\left(\frac{u-\lambda}{l+h}\right)\\r&=\frac{ul+\lambda h}{\sqrt{(l+h)^2+\left(u-\lambda\right)^2}}.\end{aligned} \tag{14} φr=θ−arctan(l+hu−λ)=(l+h)2+(u−λ)2ul+λh.(14)
将公式(14)代入公式(13)，对沿检测器的投影进行滤波，并进行一些简化，得到：
f θ ( x , y ) = l + h 2 ( x sin θ − y cos θ − l ) 2 × ∫ − s + s ∫ − d + d l + h ( l + h ) 2 + ( u − λ ) 2 ⋅ p θ ( λ , u ) ⋅ q ( u ′ − u ) d u d λ (15) \begin{aligned} f_{\theta}(x,y)& ={\frac{l+h}{2(x\sin\theta-y\cos\theta-l)^{2}}} \\ &\times\int_{-s}^{+s}\int_{-d}^{+d}\frac{l+h}{\sqrt{(l+h)^{2}+(u-\lambda)^{2}}} \cdot p_{\theta}(\lambda,u)\cdot q(u^{\prime}-u)\mathrm{d}u\mathrm{d}\lambda \end{aligned} \tag{15} fθ(x,y)=2(xsinθ−ycosθ−l)2l+h×∫−s+s∫−d+d(l+h)2+(u−λ)2l+h⋅pθ(λ,u)⋅q(u′−u)dudλ(15)
其中：
u ′ = λ ( x sin θ − y cos θ + h ) − ( l + h ) ( x cos θ + y sin θ ) x sin θ − y cos θ − l . (16) u'=\frac{\lambda(x\sin\theta-y\cos\theta+h)-(l+h)(x\cos\theta+y\sin\theta)}{x\sin\theta-y\cos\theta-l}. \tag{16} u′=xsinθ−ycosθ−lλ(xsinθ−ycosθ+h)−(l+h)(xcosθ+ysinθ).(16)
其中， u ′ u' u′表示X射线经过点 ( x , y ) (x, y) (x,y)的探测器单元的位置，源位置为 λ λ λ。考虑截断数据和冗余数据的加权函数，F-mSTCT的W-FBP为：
f ( x , y ) = ∑ i = 1 T l + h 2 ( x sin θ i − y cos θ i − l ) 2 × ∫ − s + s ∫ − d + d l + h ( l + h ) 2 + ( u i − λ i ) 2 ⋅ w θ i ′ ( λ i , u i ) ⋅ p θ i ( λ i , u i ) × q ( u i ′ − u i ) d u i d λ i . (17) \begin{aligned} f(x,y)& =\sum_{i=1}^{T}{\frac{l+h}{2(x\sin\theta_{i}-y\cos\theta_{i}-l)^{2}}} \\ &\times\int_{-s}^{+s}\int_{-d}^{+d}\frac{l+h}{\sqrt{(l+h)^{2}+(u_{i}-\lambda_{i})^{2}}}\cdot w_{\theta_{i}}^{\prime}\big(\lambda_{i},u_{i}\big) \cdot p_{\theta_{i}}\big(\lambda_{i},u_{i}\big)\times q\big(u_{i}^{\prime}-u_{i}\big)\mathrm{d}u_{i}\mathrm{d}\lambda_{i}. \end{aligned} \tag{17} f(x,y)=i=1∑T2(xsinθi−ycosθi−l)2l+h×∫−s+s∫−d+d(l+h)2+(ui−λi)2l+h⋅wθi′(λi,ui)⋅pθi(λi,ui)×q(ui′−ui)duidλi.(17)
IV. EXPERIMENTS SETUP
为了验证我们策略的有效性，我们将我们提出的W-FBP (F-mSTCT)与我们之前的工作V-FBP (mSTCT)进行了比较。考虑到F-mSTCT和mSTCT在STCT数量上的差异，实验设计如下：
A. 仿真实验
在一个512 × 512像素的数值Forbild phantom上对该策略进行了评估。仿真的几何参数总结为：源到等心距离13.75 mm，等心到探测器距离106.5 mm，探测器尺寸1024 × 1024像素，探测器像素尺寸0.127 mm，源平移距离35 mm。模拟STCT的视场半径 R 1 R_1 R1为6.6 mm。探测器在等中心处的等效像素尺寸为14.52µm，表明该配置捕获的最高频率分量为1/7.26µm。根据奈奎斯特采样定理(采样频率应该是最高频率的两倍)，这导致每个STCT中大约有4800个投影。因此，为了获得V-FBP (mSTCT)和W-FBP (F-mSTCT)在不同源采样率下的性能，每个STCT的投影数(N)分别设置为300、600、1200、2400和4800。mSTCT实现了3个STCT，间隔平移角为 62. 8 ◦ 62.8^◦ 62.8◦，F-mSTCT实现了6个STCT，间隔平移角为 6 0 ◦ 60^◦ 60◦。
我们采用定量指标，特别是均方根误差(RMSE)、峰值信噪比(PSNR)和结构相似性指数(SSIM)来评估图像质量。RMSE衡量重建与参考之间的总体误差，PSNR衡量图像中的噪声水平，SSIM衡量两幅图像之间的相似性。
B. 物理实验
我们建立了一个内部锥形束micro-CT系统，在实际数据上验证了所提出方法的性能。如图5(a)所示，该实验平台由微焦点锥束X射线源(L10321, Hamamatsu, Japan)、旋转平台(RGV100BL, Newport, USA)、FPD (PaxScan1313DX, Varian, USA)和平移平台(M-ILS250PP, Newport, USA)组成。将源安装在平移平台上，实现源的平移。对象定位在旋转平台上，实现多个STCT。物理实验的几何参数与模拟实验的几何参数基本一致。此外，X射线源工作在40 kV管电压和60µA管电流下。借助基于GPU的ASTRA工具箱[40]，我们在MATLAB 2019b中编写了重构程序，并在使用Intel Core i5-9400 CPU @ 2.90 GHz和NVIDIA GeForce GTX 1660ti的计算机上进行了测试。
V. RESULTS
A. 仿真数据结果
1）W-FBP (F-mSTCT)与FBP (F-mSTCT)的对比：图6为W-FBP与FBP的重建结果。在没有加权函数的情况下，由于截断和有限角度投影数据，FBP重建的每个STCT图像中存在混叠和条纹伪影[图6(a)]。利用加权函数，W-FBP重构的每个STCT图像中的混叠伪影完全消失[图6(b)]。将6个STCT的FBP结果加在一起后，由于数据被截断和冗余，图像中仍然存在混叠和条纹伪影[图6(c )]。然而，这些伪影在图6(d)中被去除，图6(d)是W-FBP结果的总和。图6(e)绘制了图6(c )和(d)中沿水平中心线以及参考模体中的轮廓。由于截断数据滤波引起的吉布斯现象，使得FBP算法的轮廓振荡频繁。相比之下，W-FBP剖面与参考井吻合，证明了该方法的有效性。
2）W-FBP (F-mSTCT)与V-FBP (mSTCT)的对比：图7显示了无噪声和有噪声数据中V-FBP (mSTCT)和W-FBP (F-mSTCT)的重建结果。在无噪声情况下，图7(a) - (d)分别显示了1800、3600、7200和14400投影的V-FBP结果，其相应的放大图像如图7(e) - (h)所示。随着投影数的减少，V-FBP图像变得模糊，特别是在1800个投影时。由于V-FBP沿源方向对投影进行滤波，低源采样强度会导致滤波后投影中高频分量的损失。图7(i) - ( p)给出了W-FBP结果和不同数量的无噪声投影的相应放大图像。随着投影数量的减少，图像分辨率保持不变，即使有1800个投影。然而，图像均匀性随着投影的减小而下降。
图8绘制了图7中红线的剖面图。随着每个STCT投影数的减少，对于边缘，V-FBP的幅度减小，而W-FBP的幅度变化可以忽略；对于平坦区域，W-FBP强度振荡增加，而V-FBP保持平稳。
表1列出了量化指标。对于V-FBP，随着预测数从14400减少到1800,RMSE从0.0078增加到0.0520,PSNR从43.2249减少到25.9098,SSIM从0.9974减少到0.9669。在相同条件下，W-FBP的RMSE值从0.00171增加到0.0254,PSNR从35.5550减少到33.0906,SSIM从0.9968减少到0.9029。W-FBP和V-FBP的三个指标都随着投影数的减少而降低，但投影数对V-FBP的影响更大。虽然V-FBP算法在投影数很高的情况下可以获得较好的极限重建质量，但W-FBP算法在投影数小于3600的情况下获得较好的重建质量。在相同投影量的情况下，W-FBP比V-FBP更快。
两种算法在含噪数据下的性能如图7(q) - (t)和表1所示。W-FBP图像中的噪声更为明显，因为W-FBP算法保留了更多属于高频分量的噪声。
3）调制传递函数(Modulation Transfer Function, MTF)[41]用于定量研究V-FBP (mSTCT)和W-FBP (F-mSTCT)在空间分辨率上的性能。512×512像素柱面[图9(a)]从不同数量的投影重建具有相同像素大小的图像。图9(b)中W-FBP (mSTCT)的MTF曲线基本相同，说明W-FBP重建分辨率与投影数无关。相反，V-FBP (mSTCT)的MTF曲线[图9(c )]随着投影次数的减少而退化，正如预期的那样。
图9©比较了两种方法，表2列出了10%MTF的定量结果，两者都表明当投影数小于3600时，W-FBP比V-FBP具有更好的分辨率。
B. 基于真实数据的结果
为了进一步评估我们的方法在真实数据上的性能，我们使用上述原型CT系统扫描了直径为11 mm的花蕾[图5(b)]，并通过V-FBP和W-FBP算法重建了其横向切片。在实际扫描中，几何误差是一个不可避免的缺点，根据[36]进行了修正。在1800、3600和7200个投影时，V-FBP和W-FBP算法的计算时间分别为1.60、2.25、3.21秒和1.40、1.85、2.85秒。图10(a) - ( c)为V-FBP的重建图像，图像质量和空间分辨率随着投影的减小而下降，这与模拟实验结果一致。
具体来说，当投影数为1800和3600时，图像模糊，微小结构缺失，如图10(d)和(e)的放大图像所示。图10(g) - (l)为W-FBP重构结果及其相应的放大图像。这些图像在空间分辨率和微小结构方面只有微小的差异。而W-FBP图像中的噪声随着投影次数的增加而减小。尽管存在噪声，1800个投影的W-FBP分辨率与7200个投影的V-FBP分辨率相当。在本实验中，每个投影的积分时间为1s, 7200个投影的积分时间为2h, 1800个投影的积分时间为30min，这表明W-FBP可以节省大量的采集时间和数据存储内存。
VI. DISCUSSION
在上述实验中，W-FBP (F-mSTCT)在较少的投影下表现出更快的重建速度和更高的重建分辨率。其重构速度的优势在于加权函数更简单，因为F-mSTCT只有一种数据冗余，而mSTCT有两种。
W-FBP与V-FBP的重建分辨率差异主要是由于滤波方向不同，W-FBP滤波器沿探测器方向[见(17)]，V-FBP滤波器沿X射线源方向(见[28，式(14)])，如图11所示。
沿V-FBP滤波方向的采样率取决于源采样位置的个数(相当于投影个数，图11中的蓝点)。因此，提高V-FBP的重建分辨率需要增加投影数，从而增加了采集时间和数据存储空间。相比之下，人造micro-CT探测器的固定像素间距通常只有0.1-0.2 mm。因此，W-FBP可以在较少投影的情况下重建高分辨率图像。考虑到成像质量和分辨率，W-FBP(1800个投影)只需要1/4的投影就可以达到V-FBP(7200个投影)的分辨率。
然而，W-FBP图像在投影数较少时均匀性不佳，这与W-FBP公式中的因子 ( l + h / ( x sin θ i − y cos θ i − l ) 2 ) (l+h/(x\sin{\theta}_{i}-y\cos\theta_{i}-l)^{2}) (l+h/(xsinθi−ycosθi−l)2)有关[见(17)]。该因子可以显著放大从小焦距配置获取的数据重建的图像中的噪声和混叠伪影[42]。焦距等于源到等中心的距离1，这个距离在STCT扫描中很小。因此，W-FBP剖面具有更明显的强度振荡。此外，图像均匀性还与投影视图的数量有关。在相同的投影覆盖角度内，传统旋转CT中更多的视图相当于更密集的角度采样，从而获得更平滑的线条轮廓和更好的图像均匀性[43]。在W-FBP中，视图的数量等于源采样位置的数量。因此，随着源采样位置的增加，W-FBP的成像均匀性会因投影视图的减少而提高。
VII. CONCLUSION
在这项工作中，提出了W-FBP算法来处理mSTCT中的数据截断问题。为了设计灵活有效的加权函数，引入了新的扫描模式F-mSTCT，其中投影中简单规则的冗余包含截断区域，从而可以引入加权函数同时处理数据冗余和截断。与我们之前的重建算法V-FBP相比，W-FBP在更少的投影下实现了更高的重建分辨率。因此，W-FBP显著提高了数据采集和重构的效率。但是，W-FBP算法存在投影数很低时重建图像均匀性稍差的问题。在今后的工作中，可以从稀疏重建的角度进行研究，进一步提高图像质量。此外，我们只在二维投影数据上验证了我们的算法。当FBP型算法扩展到三维投影时，锥束射线的锥角会导致距离中心平面较远的平面的重建误差较大，需要进行校正。因此，开发相应的W-FDK三维重建算法也是一个重要的目标。