一、函数渐进的界

一、大O 符号（上界）

定义：设f和g是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数c和n0,使得对一切nn0有0f(n)cg(n)成立，则称f(n)的渐近的上界是g(n),记作f(n)=O(g(n))。例子：

        设f(n) = n2 + n,则

        f(n)=O(  n2  ),则c=2,n0=1即可

        f(n)=O(n3),则c=1,n0=2即可

1.f(n)=O(g(n)),f(n)的阶不高于g(n)的阶。

2.可能存在多个正数c,只要指出一个即可。

3.对前面有限个值可以不满足不等式。

4.常函数可以写作O（1）

二、大 符号（下界）

定义：设f和g是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数c和n0,使得对一切nn0，0cg(n)f(n)成立，则称f(n)的渐近的下界是g(n),记作f(n)=(g(n))。例子：

       设f(n) = n2 + n,则

       f(n)=(  n2 )，则c=1,n0=1即可

       f(n)=( 100n )，则c=1/100，n0=1即可

1.f(n) = (g(n)),f(n)的阶不低于g(n)的阶。

2.可能存在多个正数c,只要指出一个即可。

3.对前面有限个n值可以不满足不等式。

三、小o符号（上界）

定义:设f和g是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数c都存在n0,使得对一切nn0有0f(n)

            f(n)=n2+n,则

            f(n)=o(n3)

            c>=1显然成立，因为n2+n

            任给1>c>0,取n0>2/c即可。因为

            cn>=cn0>2  (当n>=n0)

            n2+n<2n2

1.f(n) = o(g(n)),f(n)的阶低于g(n)的阶。

2.对不同正数c，n0不一样。c越小n0越大。

3.对前面有限个n值可以不满足不等式。 

四、小符号（下界）

定义:设f和g是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数c都存在n0,使得对一切nn0有0cg(n)

            设f(n)=n2+n,则

            f(n)=w(n),

            不能写f(n)=w(n2),因为取c=2，不存在n0使得对一切n>=n0有下式成立

            cn2=2n2

1.f(n) = (g(n)),f(n)的阶高于g(n)的阶。

2.对不同正数c，n0不一样。c越大n0越大。

3.对前面有限个n值可以不满足不等式。 

五、符号

若f(n)=O(g(n))且f(n)=(g(n))，则记作

f（n）=(g(n))

例子： f(n)=n^2+n,g(n)=100n^2,那么有

            f(n)=(g(n))

1.f(n)的阶与g(n)的阶相等

2.对前面有限个n值可以不满足条件。