每日算法打卡:带分数 day 4

文章目录

    • 原题链接
    • 题目描述
        • 输入格式
        • 输出格式
        • 数据范围
        • 输入样例1:
        • 输出样例1:
        • 输入样例2:
        • 输出样例2:
    • 题目分析
    • 示例代码

原题链接

1209. 带分数

题目难度:简单(我感觉挺难的)

题目来源:第四届蓝桥杯省赛C++B/C组,第四届蓝桥杯省赛JAVAA/B组

题目描述

100 可以表示为带分数的形式: 100 = 3 + 69258 714 100 = 3 + \frac{69258}{714} 100=3+71469258

还可以表示为: 100 = 82 + 3546 197 100 = 82 + \frac{3546}{197} 100=82+1973546

注意特征:带分数中,数字 1 ∼ 9 1 \sim 9 19 分别出现且只出现一次(不包含 0)。

类似这样的带分数,100 有 11 种表示法。

输入格式

一个正整数。

输出格式

输出输入数字用数码 1 ∼ 9 1∼9 19 不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

数据范围

1 ≤ N < 1 0 6 1 \le N < 10^6 1N<106

输入样例1:
100 
输出样例1:
11 
输入样例2:
105 
输出样例2:
6 

题目分析

这个题目的理解是比较简单的,就是将一共数字分解成一个整数加一个分数的形式,这里可以形式化的理解为将数字n分解为 n = a + b c n = a + \frac{b}{c} n=a+cb的形式,需要注意的是b除c并不是整除,在a、b、c中需要出现数字1到9

数据范围是到10的6次方,也就是6位的一个数

这道题的做法很多

第一种最暴力的方法就是枚举所有方案,其实就是枚举1到9的全排列,对于每一次排列,枚举每一次a、b、c的位数,即分别对应的数字是什么,其实我们可以只枚举a和b,因为n是确定的,可以直接计算出c1的值,我们只需要判断c是否符合条件即可

我们可以稍微估算一下这个算法的时间复杂度,第一步枚举全排列的复杂度是 O ( n ∗ n ! ) O(n*n!) O(nn!),也就是 9 ∗ 9 ! 9*9! 99!,对于每一个情况,需要分出不同的a、b、c,对于九个数字,这之中有八个空隙,我们选择其中两个空隙放如隔板即可,也就是8选2,这个数字大概在九千万的量级,刚好是卡在时间限制之中的

这里我们来着重看一下如何优化这个过程,我们可以对这个表达式进行变形 c n = c a + b cn = ca + b cn=ca+b 我们其实可以直接枚举a和c,就可以直接把b直接算出来,除此之外对于 n = a + b c n = a+\frac{b}{c} n=a+cb这里的n最多有6位,那么对应的,a最多其实也只有6位

那么综合上面的步骤来看,就是首先枚举a,对于每一个a来说,再枚举c,对于每一个a和c,再判断b是否成立即可

示例代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N = 20; // 数据范围

int n;
bool state[N]; // 状态数组,表示每个数字是否被使用
int ans = 0; // 表示最终的方案数
bool backup[N]; // 用于检测b是否符合条件的备份

bool check(long long a, long long c)
{
    long long b = n * c - a * c; // 防止越界
    if (a == 0 || b == 0 || c == 0)
        return false;
    memcpy(backup, state, sizeof(state));
    while(b != 0)
    {
        int tmp = b % 10;
        b /= 10;
        if (tmp == 0 || backup[tmp] == true) return false; // 1到9不能出现0,或者那一位数字已经出现过了,则不符合情况,返回false
        backup[tmp] = true;
    }
    // 判断每个数字是否都出现过,如果存在没有出现过的数字则不符合条件
    for (int i = 1; i <= 9; i++)
    {
        if (backup[i] == false)
            return false;
    }
    return true;
}

void dfs_c(int cur, long long a, long long c)
{
    if (cur == n) return; // 数字全部用完则没有b,不符合情况
    if (cur > 9)return; // 使用的数字超过9个不符合条件
    if (check(a, c)) ans++;
    for (int i = 1; i <= 9; i++)
    {
        if (state[i] == false)
        {
            state[i] = true;
            dfs_c(cur + 1, a, c * 10 + i);
            state[i] = false;
        }
    }

}

void  dfs_a(int cur, long long a) // 表示当前用了cur个数字,a的值
{
    if (a >= n) return; // 要保证b和c的存在
    if(a!= 0 ) dfs_c(cur, a, 0); // 当前已经使用了cur个数字,a的值,c的值
    for (int i = 1; i <= 9; i++) // 枚举a的所有情况
    {
        if (state[i] == false)
        {
            state[i] = true;
            dfs_a(cur + 1, a * 10 + i);
            state[i] = false;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    dfs_a(0, 0); // 当前已经用了0个数字,a的值是0
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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