[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-4(2) 刚体的速度与角速度

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。

2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
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食用方法
求解逻辑：速度与加速度都是在知道角速度与角加速度的前提下——旋转运动更重要
所求得的速度表达-需要考虑是否为刚体相对固定点！
旋转矩阵？转换矩阵？有什么意义和性质？——与角速度与角加速度的关系
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义

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4.2 速度传递

对于连续转动的坐标系而言，有:
$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{c}\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]=\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]\cdots \left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\right]\\ {\tilde{\omega }}^F=\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]{\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}\end{array}\\ \Rightarrow {\tilde{\omega }}^F& =\left(\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]\cdots \left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\right]+\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]\cdots \left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\right]+\cdots +\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]\cdots \left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\right]\right)\cdot {\left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\right]}^{\mathrm{T}}\cdots {\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]}^{\mathrm{T}}{\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]}^{\mathrm{T}}\\ \Rightarrow {\tilde{\omega }}^F& =\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]{\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]}^{\mathrm{T}}+\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]{\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}\right]}^{\mathrm{T}}{\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]}^{\mathrm{T}}+\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^F\right]\left[{\dot{Q}}_{{\mathrm{F}}_3}^{F_2}\right]{\left[Q_{{\mathrm{F}}_3}^{F_2}\right]}^{\mathrm{T}}{\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^F\right]}^{\mathrm{T}}+\cdots \left[Q_{{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}-1}}^F\right]\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\right]{\left[Q_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\right]}^{\mathrm{T}}{\left[Q_{{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}-1}}^F\right]}^{\mathrm{T}}\\ \Rightarrow {\tilde{\omega }}^F& ={\tilde{\omega }}_{{\mathrm{F}}_1}^F+\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]{\omega }_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}+\left[Q_{{\mathrm{F}}_2}^F\right]{\omega }_{{\mathrm{F}}_3}^{F_2}+\cdots +\left[Q_{{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}-1}}^F\right]{\omega }_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\\ \Rightarrow {\omega }^F& ={\omega }_{{\mathrm{F}}_1}^F+\left[Q_{{\mathrm{F}}_1}^F\right]{\omega }_{{\mathrm{F}}_2}^{F_1}+\cdots +\left[Q_{{\mathrm{F}}_{\mathrm{n}-1}}^F\right]{\omega }_{\mathrm{M}}^{F_{\mathrm{n}-1}}\end{array}$$
此时，${\omega }_{{\mathrm{F}}_1}^F$理解为，坐标系$\left\{F_1\right\}$所代表的刚体在坐标系$\left\{F\right\}$下的角速度参数。

4.3 运动刚体的加速度与角加速度

对 $v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M=\left({\tilde{\omega }}^M-{\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]}^{\mathrm{T}}\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]\right)R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M$ 进一步求导，可计算出其运动刚体上点$P_i$的加速度为：
$$\begin{array}{rl}& v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F=v_{\mathrm{M}}^F+\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]{\dot{R}}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M=v_{\mathrm{M}}^F+{\tilde{\omega }}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\\ \Rightarrow a_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F& =a_{\mathrm{M}}^F+\left({\dot{\tilde{\omega }}}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+{\tilde{\omega }}^F\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+{\tilde{\omega }}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)+\left(\left[{\dot{Q}}_{\mathrm{M}}^F\right]v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]a_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)\\ \Rightarrow a_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F& =a_{\mathrm{M}}^F+\left({\tilde{\alpha }}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+{\tilde{\omega }}^F{\tilde{\omega }}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+{\tilde{\omega }}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)+\left({\tilde{\omega }}^F\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M+\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]a_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)\\ \Rightarrow a_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F& =a_{\mathrm{M}}^F+{\tilde{\alpha }}^F{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+{\tilde{\omega }}^F{\tilde{\omega }}^F{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+2{\tilde{\omega }}^F{\left(v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+{\left(a_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F\end{array}$$

当点$P_i$为运动刚体上固定一点时，则有：
$$\begin{array}{rl}{a}_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^F& =a_{\mathrm{M}}^F+{\tilde{\alpha }}^F{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+{\tilde{\omega }}^F{\tilde{\omega }}^F{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+2{\tilde{\omega }}^F{\left({v_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M}_{\nearrow 0}\right)}^F+{\left({a_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M}_{\nearrow 0}\right)}^F\\ & =a_{\mathrm{M}}^F+{\tilde{\alpha }}^F{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F+{\tilde{\omega }}^F{\tilde{\omega }}^F{\left(R_{{\mathrm{P}}_{\mathrm{i}}}^M\right)}^F\end{array}$$

4.3.1 欧拉角表示角加速度

对 ω ⃗ F = [ cos ⁡ β cos ⁡ γ − sin ⁡ γ 0 cos ⁡ β sin ⁡ γ cos ⁡ γ 0 − sin ⁡ β 0 1 ] [ α ˙ β ˙ γ ˙ ] \vec{\omega}^F=\left[ \begin{matrix} \cos \beta \cos \gamma& -\sin \gamma& 0\\ \cos \beta \sin \gamma& \cos \gamma& 0\\ -\sin \beta& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{\alpha}\\ \dot{\beta}\\ \dot{\gamma}\\ \end{array} \right] ω F= ​cosβcosγcosβsinγ−sinβ​−sinγcosγ0​001​ ​ ​α˙β˙​γ˙​​ ​ 继续求导，可得：
ω ⃗ F = [ cos ⁡ β cos ⁡ γ − sin ⁡ γ 0 cos ⁡ β sin ⁡ γ cos ⁡ γ 0 − sin ⁡ β 0 1 ] [ α ˙ β ˙ γ ˙ ] ⇒ α ⃗ F = [ − sin ⁡ β cos ⁡ γ − cos ⁡ β sin ⁡ γ − cos ⁡ γ 0 cos ⁡ β cos ⁡ γ − sin ⁡ β sin ⁡ γ − sin ⁡ γ 0 − cos ⁡ β 0 0 ] [ α ˙ β ˙ γ ˙ ] + [ cos ⁡ β cos ⁡ γ − sin ⁡ γ 0 cos ⁡ β sin ⁡ γ cos ⁡ γ 0 − sin ⁡ β 0 1 ] [ α ¨ β ¨ γ ¨ ] \begin{split} \vec{\omega}^F=\left[ \begin{matrix} \cos \beta \cos \gamma& -\sin \gamma& 0\\ \cos \beta \sin \gamma& \cos \gamma& 0\\ -\sin \beta& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{\alpha}\\ \dot{\beta}\\ \dot{\gamma}\\ \end{array} \right] \\ \Rightarrow \vec{\alpha}^F=\left[ \begin{matrix} -\sin \beta \cos \gamma -\cos \beta \sin \gamma& -\cos \gamma& 0\\ \cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma& -\sin \gamma& 0\\ -\cos \beta& 0& 0\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{\alpha}\\ \dot{\beta}\\ \dot{\gamma}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \cos \beta \cos \gamma& -\sin \gamma& 0\\ \cos \beta \sin \gamma& \cos \gamma& 0\\ -\sin \beta& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \ddot{\alpha}\\ \ddot{\beta}\\ \ddot{\gamma}\\ \end{array} \right] \end{split} ω F= ​cosβcosγcosβsinγ−sinβ​−sinγcosγ0​001​ ​ ​α˙β˙​γ˙​​ ​⇒α F= ​−sinβcosγ−cosβsinγcosβcosγ−sinβsinγ−cosβ​−cosγ−sinγ0​000​ ​ ​α˙β˙​γ˙​​ ​+ ​cosβcosγcosβsinγ−sinβ​−sinγcosγ0​001​ ​ ​α¨β¨​γ¨​​ ​​

4.3.2 待补充

4.3 刚体运动的旋量表达方式