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随机过程——卡尔曼滤波学习笔记

一、均方预测和随机序列分解

考虑随机序列X(k),X(k-1),X(k-2),\cdots, X(2),X(1),X(0)

使用X(k-1),X(k-2),\cdots,X(2),X(1),X(0)预测X(k)

定义X_{MS}(k) = E[X(k)|X(k-1),X(k-2),\cdots ,X(0)]

称为X(k)的均方可预测部分。 

若X(k),X(k-1),\cdots ,X(1),X(0)相互独立，则X(k)是均方不可预测的。

X_{MS}(k) = E[X(k)|X(k-1),X(k-2),\cdots ,X(0)] = E[X(k)]

定义随机序列X(k)的新息序列V(k)=X(k)-X_{MS}(k) 

V(k)基于样本观测的条件均值为0，即均方不可预测。

V(k)与X_{MS}(k)是正交的，即E[V(k)X_{MS}(k)] = 0。

二、卡尔曼滤波

输入观测量z(n)，对x(n)进行估计得到\hat{x}(n)

1. 系统模型

状态方程

x(n)=F(n,n-1)x(n-1)+v_1(n-1)

观测方程 

z(n)=C(n)x(n)+v_2(n)

 其中，

x(n)：状态向量，N \times 1

z(n)：观测向量，M \times 1

v_1(n)：状态噪声，N \times 1，高斯白噪声

v_2(n)：观测噪声，M \times 1，高斯白噪声

F(n, n-1)：状态转移矩阵，N \times N

C(n)：观测矩阵，M \times N

相关性质：

（1）乘积率：F(n+1, n-1) = F(n+1, n)F(n, n-1)

（2）状态噪声自相关矩阵：E\left[ v_1(n) v_1^H(n) \right ] = Q_1(n) \delta(n-k)

（3）观测噪声自相关矩阵：E\left[ v_2(n) v_2^H(n) \right ] = Q_2(n) \delta(n-k)

（4）噪声独立性：E\left[ v_1(n) v_2^H(n) \right ] = 0

2. 新息过程

随机过程——卡尔曼滤波学习笔记_第1张图片

定义MMSE下的预测误差e(n)为新息过程，记作a(n)

a(n) = z(n) - \hat{d}(n) = z(n) - W^Hz_{n-1}

\hat{d}(n)记作\hat{z}\left( n | Z_{n-1} \right )是用前n-1个观测值对z(n)进行MMSE估计。

其中，

观测向量：z_{n-1} = \left[ z(1), z(2), z(3), \cdots , z(n-1) \right ]^T

权向量：W = \left[ w_1, w_2, \cdots, w_{n-1} \right ]^{T}

性质

（1）当前新息与以前各观测量正交

E\left[ a(n) z^{*}(n) \right ] = 0, k=0,1,2,\cdots,n-1

（2）当前新息与以前各新息正交

E\left[ a(n) a^{*}(n) \right ] = 0, k=0,1,2,\cdots,n-1

（3）新息与观测量等价

随机过程——卡尔曼滤波学习笔记_第2张图片

3. 用观测量估计（MMSE估计）状态变量

\hat{x}(n|Z_n) = W^{H} z_n = W^HL_{n}^{-1}a_n = b^{H}a_n

其中，

a_n = a(n) = \left[ a(1), a(2), \cdots, a(n) \right ]^T

b(n) = \left[ b(1), b(2), \cdots, b(n) \right ]^T

A(n) = E\left[ a_n a_n^{H} \right ]

p_a(n) = E\left[ a_n x^{*}(n) \right ]

递推形式：

\hat{x}(n|Z_n) = b^{H} a_n = \sum_{i=1}^{n} b^{*}(i)a(i) = \hat{x}(n|Z_{n-1}) + b^{*}(n)a(n)

随机过程——卡尔曼滤波学习笔记_第3张图片

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