高中奥数 2021-08-05

2021-08-05-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵竞赛问题选讲(二) P068 例8）

设,个正整数的和为.证明,在其中一定可以选出某些数,使它们的和等于,除非所给的数满足下面的条件之一:

(1)有一个数是,其余的都是;

(2)在为奇数时,所有数都等于.

证明

设所给的正整数为,并记,则在下面个数

中,必有两个数模同余我们区分四种情况讨论:

(i)设有一个,使.此时由

,(1)

故.

(ii)设有满足,则由(1)知,故,此即

(iii)设有某个,使得.若,将有.但都是正整数,故,从而

,(2)

因此,故此时结论成立;若,则有

而上式左边显然是小于的正整数,故

(iv)设.我们已证明(见(2)式).若,则个正整数的和等于,从而它们都等于,这正是问题中排除的情形(1).

设,则,结合;推出.当为奇数时,这是问题中排除的情形(2).若为偶数,则任取个的和便等于.

2021-08-05-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数论余红兵竞赛问题选讲(二) P069 例9）

设为素数,给定个不同的正整数:证明,可以从中取出这样一对数,使得将两者中较大的数除以两者的最大公约数后,所得的商不小于.

证明

将所给的个数都除以它们的最大公约数,显然不影响本题的结论,因此我们可设这个数互素.特别地,其中必有一个数不被整除.记这个数是

这里,互不相等且均和互素,是正整数,都是不被整除的正整数.

在个数

(1)

中,必有两个模同余,我们区分三种情况讨论

(I)(1)中的数至少有三个相等.此时结论容易证明.因为若,则互不相等,其中最大的数至少是最小者的倍,无妨设,则与符合要求;若,无妨设,则,于是与符合要求.

(II)(1)中的数有两对相等.若,,则当或时,同上可知结论成立;当且时,可改记为,且.此时

整数.

若,,同样可证明结论.

(III)(1)中的数恰有两个相等.这只能是或.这时可在(1)中删去,则剩下的个数互不相等,但仍有两个模同余.现在又有三种可能:

(i)设.无妨设.若,结论显然成立.若,记,则,且.设,则,于是,我们有(注意,,以及)

所以,与中的较大者除以它们的最大公约数后,得出的商至少是.

(ii)设.这一情形可与(i)类似地解决.

(iii)设.若,则结论显然成立.若,设,则,且.设,则,于是,因此

从而与中较大的数除以它们的最大公约数后,得出的商不小于.

这就完成了问题的证明.