JMU---数科 数据结构考试知识点 民间总结（1）
自己根据老师说的知识点总结了一部分，不是全部嗷
随便看看就好，不要当真
数据的存储结构和逻辑结构
在计算机科学中，数据的存储结构和逻辑结构是两个重要的概念。它们就像是图书馆里书籍的排列方式和分类方式。
逻辑结构
逻辑结构描述的是数据之间的逻辑关系，就像图书馆里不同书籍的分类和组织方式。它们不关心数据在物理上如何存储，只关注数据元素之间的逻辑关系。逻辑结构主要包括：
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线性结构：数据元素之间是一对一的关系，就像一列排好的书。例子包括数组、链表、栈、队列等。
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树形结构：数据元素之间是一对多的关系，就像树枝从一个点分叉出去。例子包括二叉树、多叉树等。
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图形结构：数据元素之间是多对多的关系，就像图书馆中的交叉参考书籍。例子包括图、网络等。
存储结构
存储结构（也称为物理结构）则是关于数据在计算机中的实际存储方式，就像书籍在图书馆的实际摆放位置。主要分为：
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顺序存储结构：数据元素存放在连续的存储单元里，类似于书架上连续排列的书籍。这种结构通常用于实现数组。
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链式存储结构：数据元素存放在任意的存储单元里，这些单元通过指针或链接相连，就像散放在不同位置的文件夹，通过目录相互关联。这种结构通常用于实现链表。
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索引存储结构：数据存储在不连续的空间里，通过索引表来快速定位数据元素，类似于图书馆的索引卡片系统。
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散列存储结构：通过哈希表将数据元素映射到存储位置，类似于根据书的ISBN直接找到书的具体位置。
线性表
线性表是一种非常基础和常用的数据结构，就像一列整齐排列的珠子。每个珠子代表一个元素，而珠子间的线代表它们之间的顺序关系。在计算机科学中，线性表可以是数组或链表的形式。
基本操作
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插入（Insertion）：就像在珠子串中某个位置插入一个新的珠子。这个操作在指定位置加入一个新元素。
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删除（Deletion）：就像从珠子串中拿掉一个珠子。这个操作移除指定位置的元素。
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查找（Search）：在珠子串中寻找特定的珠子。可以根据位置查找，也可以根据元素的值查找。
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修改（Update）：改变某个珠子的颜色或形状。在线性表中，这意味着更改某个位置的元素值。
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长度（Length）：数一数珠子串中有多少个珠子。在线性表中，这是计算表中有多少元素。
特点
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顺序存储：线性表可以用数组实现，这时元素在内存中是连续存储的。这种方式的优点是可以快速通过索引访问元素，但在插入和删除操作时可能需要移动大量元素。
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链式存储：也可以用链表实现，其中每个元素都指向下一个元素。这种方式的优点是插入和删除操作效率高，因为不需要移动其他元素，但访问特定元素可能需要从头开始遍历。
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有序性：线性表中的元素是有序排列的，每个元素都有一个固定的位置。
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灵活性：线性表可以轻松地增长和缩小，特别是链式线性表。
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单一链接：在简单的线性表中，每个元素只与它前后的元素直接相连（在链表中体现得尤为明显）。
循序存储（如数组）
优点
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快速访问元素：循序存储像书架上的书，你可以直接拿到任何一本书，因为它们的位置都是固定的。在数组中，你可以直接通过索引快速访问任何元素。
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空间效率：循序存储不需要额外的空间来存储指针或链接信息，就像书架上的书只占用它们自己的空间。
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优化的内存使用：由于数据是连续存储的，循序存储可以更好地利用缓存系统。
缺点
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固定大小：数组的大小通常在创建时就固定了，就像一个固定大小的书架，不能随意增加或减少层数。
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插入和删除的效率低：插入或删除元素可能需要移动很多其他元素，就像为了放一本新书而需要移动其他书一样。
链式存储（如链表）
优点
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动态大小：链表可以轻松增长和缩小，就像文件夹，你可以随时加入或移除文件。
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插入和删除高效：在链表中插入或删除元素不需要移动其他元素，只需要更改几个指针。
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不需要连续的内存空间：链表的元素可以分布在内存的不同部分，这在内存空间紧张时很有用。
缺点
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访问效率较低：链表中访问元素通常需要从头开始遍历，就像在文件夹中翻找特定的文件。
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额外的内存消耗：每个元素都需要额外的空间来存储指向下一个元素的指针，这是链表的额外成本。
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不利于缓存利用：由于元素分散在内存中，链表不如数组那样能有效利用缓存。
循环队列
想象一下，你在一个游乐场排队玩过山车，排到最后，发现可以直接从队伍的尾巴走到头部，再继续排队。这就是循环队列的基本想法：当队伍的尾部到达最后一个位置时，它可以回到队伍的开始位置，如果那里是空的。
那么，为什么我们要用循环队列呢？有几个原因：
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节省空间：在普通的队列中，即使队列前面的空间是空的，但如果队尾已满，你就不能再添加新的元素。循环队列让我们可以重复使用这些空间。
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性能优化：使用循环队列，我们可以减少一些操作的时间，比如添加或删除元素，因为我们不需要每次都移动所有元素。
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简化操作：在循环队列中，我们不需要特别关心队列的前后移动问题，只需关注头部和尾部的位置，这使得管理变得更加简单。
假溢出
在数据结构中，特别是在讨论队列的时候，假溢出就显得很重要了。
想象一下，你有一个装糖果的盒子，盒子里可以放10颗糖果。你从一头放糖果，从另一头取糖果。开始的时候，你从盒子的一头开始放，一直到装不下为止。但是，当你从另一头取出几颗糖果后，那头就空出来了。现在，即使盒子里还有空间，但因为你是从一头放糖果的，所以当你达到那一头时，盒子看起来像是满的，不能再放更多糖果了。这就是假溢出。
在队列的环境中，假溢出发生在当队列的尾部到达数组的末端，而队列的头部还有空间时。虽然实际上队列中还有空间，但因为它是线性的（就像那个糖果盒子），所以看起来就像是满的，不能添加新的元素了。这就是“假”的溢出，因为实际上还是有空间的。
循环队列就是解决这个问题的一个聪明方法。通过在数组的末尾回到开头，它可以有效地使用所有的空间，防止假溢出的发生。就像在糖果盒子里，当你到达盒子的一头时，如果另一头有空间，你就可以绕过去继续放糖果，充分利用整个盒子。
举个栗子
想象一下，有一个小巴士，里面有5个座位，用来运送孩子去学校。这个巴士是一个队列，孩子们从巴士的后门上车，从前门下车。一开始，巴士是空的。
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上车：5个孩子陆续上车，坐满了所有座位。现在，巴士看起来是这样的：[孩子1, 孩子2, 孩子3, 孩子4, 孩子5]
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第一站下车：到了第一站，前面的3个孩子下车了。巴士现在有2个空座位：[空, 空, 空, 孩子4, 孩子5]
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新的孩子想上车：现在有3个新的孩子想上车。但是，因为巴士的座位是按顺序排列的，司机认为后面没有空位了，所以这3个孩子不能上车。这就是“假溢出”——实际上巴士有空位，但因为它们不在队列的末尾，所以看起来好像满了。
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循环队列的解决方案：如果这个巴士是一个循环队列，新的孩子就可以坐在前面空出来的座位上。巴士变成了这样：[新孩子1, 新孩子2, 新孩子3, 孩子4, 孩子5]。这样，所有的座位都得到了充分利用。
通过这个例子，你可以看到，循环队列可以帮助我们更有效地利用空间，避免因为顺序问题造成的假溢出。就像在这个巴士里，确保每个孩子都有座位，没有浪费空间。
双端栈
在普通栈里，你只能从一端（通常是顶部）添加或移除元素。但在双端栈里，你可以从两端进行操作，就像是两个栈合并在一起。这给了你更多的灵活性和控制权。
基本操作包括：
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Push（前端/后端）：这是添加元素的操作。在双端栈中，你可以选择从前端（一端）或后端（另一端）添加一个新元素。比如说，如果你有一个装书的双端栈，你可以从栈的一头或另一头添加一本新书。
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Pop（前端/后端）：这是移除元素的操作。与Push操作类似，你可以选择从栈的前端或后端移除元素。继续上面的例子，你可以从双端栈的任一头取出一本书。
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Peek（前端/后端）：这个操作让你查看栈的前端或后端的元素，但不移除它。就好像你偷偷地看一眼栈顶端的书，但并不拿走它。
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IsEmpty：这个操作用来检查双端栈是否为空。如果双端栈里没有任何书，这个操作就会告诉你。
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Size：这个操作告诉你双端栈里有多少元素。比如说，你想知道双端栈里有多少本书。
双端栈的这些操作提供了比普通栈更多的灵活性。你可以根据需要从任何一端进行操作，这在某些情况下非常有用，比如在需要快速访问数据的两端时。就好比一个双开门的书架，你可以从任何一边拿书，非常方便！
链栈、顺序栈
链栈和顺序栈都是栈的实现方式，但它们的存储方式不同。我们可以用一些简单的比喻来理解它们。
顺序栈（Sequential Stack）
想象一下你有一个书架，这个书架有多个固定的层，每层都可以放一本书。这就像顺序栈。在顺序栈中，所有的元素（比如书）都是紧挨着、连续存放的，就像书架上的书籍排列一样。在计算机中，顺序栈是用数组来实现的。你可以非常快速地访问栈顶的元素，但栈的大小通常是固定的，就像书架的层数一样。
链栈（Linked Stack）
现在想象一下，你有很多箱子，每个箱子都可以放一本书，并且每个箱子都有一根绳子，这根绳子连接到另一个箱子。这就是链栈的样子。在链栈中，每个元素（箱子里的书）都是分开存放的，通过链接（绳子）相互连接。在计算机中，链栈是用链表来实现的。链栈的好处是它可以动态地增长或缩小，就像你可以随意增加或减少箱子一样。但是访问栈顶以外的元素可能比顺序栈慢一些，因为你需要沿着绳子一箱箱地找过去。
总结
- 顺序栈：像一个固定层数的书架，使用数组实现，访问速度快，但大小固定。
- 链栈：像一串相连的箱子，使用链表实现，大小灵活，但访问速度可能稍慢。
就像选择书架和箱子一样，选择顺序栈还是链栈取决于你的需求：是否需要快速访问？还是需要灵活的大小变化？
字符串
想象一下，你有一串珍珠，每颗珍珠上都刻着一个字母。通过不同的操作，你可以创造、修改或分析这串珍珠。下面是一些基本的串操作：
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长度（Length）：这个操作就像数一数你的珍珠链上有多少颗珍珠一样。它告诉你串中有多少个字符。
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连接（Concatenation）：假设你有两串珍珠，你可以把它们连在一起，形成一条更长的珍珠链。在串的操作中，这就是将两个串连接起来，形成一个新的、更长的串。
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子串（Substring）：这就像从你的珍珠链中选取一部分，比如从第3颗到第5颗珍珠。在串操作中，这就是从一个较长的串中提取出一个较短的串。
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比较（Comparison）：这就像是比较两串珍珠是否一模一样。在串的操作中，这通常涉及比较两个串中的字符是否完全相同，以及它们的顺序是否一致。
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查找（Search）：想象一下，在你的珍珠链中寻找一颗特定的珍珠。同样，在串的操作中，查找是指在一个更长的串中寻找一个特定的子串。
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替换（Replacement）：这就像是把珍珠链中的一些珍珠换成不同的珍珠。在串操作中，替换是指用一个新的串来替换原串中的某个子串。
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插入（Insertion）：这就像是在珍珠链的中间加入一些新的珍珠。在串操作中，插入是指在指定位置将一个新的串插入到原串中。
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删除（Deletion）：这就像是从珍珠链中拿走一些珍珠。在串操作中，删除是指移除原串中的某个子串。
线性表
线性表是一种非常基础和常用的数据结构，就像一列整齐排列的珠子。每个珠子代表一个元素，而珠子间的线代表它们之间的顺序关系。在计算机科学中，线性表可以是数组或链表的形式。
基本操作
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插入（Insertion）：就像在珠子串中某个位置插入一个新的珠子。这个操作在指定位置加入一个新元素。
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删除（Deletion）：就像从珠子串中拿掉一个珠子。这个操作移除指定位置的元素。
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查找（Search）：在珠子串中寻找特定的珠子。可以根据位置查找，也可以根据元素的值查找。
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修改（Update）：改变某个珠子的颜色或形状。在线性表中，这意味着更改某个位置的元素值。
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长度（Length）：数一数珠子串中有多少个珠子。在线性表中，这是计算表中有多少元素。
特点
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顺序存储：线性表可以用数组实现，这时元素在内存中是连续存储的。这种方式的优点是可以快速通过索引访问元素，但在插入和删除操作时可能需要移动大量元素。
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链式存储：也可以用链表实现，其中每个元素都指向下一个元素。这种方式的优点是插入和删除操作效率高，因为不需要移动其他元素，但访问特定元素可能需要从头开始遍历。
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有序性：线性表中的元素是有序排列的，每个元素都有一个固定的位置。
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灵活性：线性表可以轻松地增长和缩小，特别是链式线性表。
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单一链接：在简单的线性表中，每个元素只与它前后的元素直接相连（在链表中体现得尤为明显）。
线性表就像是数据结构中的珍珠项链，简单却多功能，是很多复杂数据结构的基础。
顺序存储和链式存储的优缺点
循序存储和链式存储是处理数据的两种不同方法，每种都有它们的优点和缺点。就像你选择用书架还是用文件夹来整理资料一样，这两种方法各有特色：
循序存储（如数组）
优点
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快速访问元素：循序存储像书架上的书，你可以直接拿到任何一本书，因为它们的位置都是固定的。在数组中，你可以直接通过索引快速访问任何元素。
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空间效率：循序存储不需要额外的空间来存储指针或链接信息，就像书架上的书只占用它们自己的空间。
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优化的内存使用：由于数据是连续存储的，循序存储可以更好地利用缓存系统。
缺点
-
固定大小：数组的大小通常在创建时就固定了，就像一个固定大小的书架，不能随意增加或减少层数。
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插入和删除的效率低：插入或删除元素可能需要移动很多其他元素，就像为了放一本新书而需要移动其他书一样。
链式存储（如链表）
优点
-
动态大小：链表可以轻松增长和缩小，就像文件夹，你可以随时加入或移除文件。
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插入和删除高效：在链表中插入或删除元素不需要移动其他元素，只需要更改几个指针。
-
不需要连续的内存空间：链表的元素可以分布在内存的不同部分，这在内存空间紧张时很有用。
缺点
-
访问效率较低：链表中访问元素通常需要从头开始遍历，就像在文件夹中翻找特定的文件。
-
额外的内存消耗：每个元素都需要额外的空间来存储指向下一个元素的指针，这是链表的额外成本。
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不利于缓存利用：由于元素分散在内存中，链表不如数组那样能有效利用缓存。
每种方法都适合于特定的场景，选择哪一种取决于你的具体需求，比如你是更重视访问速度还是操作的灵活性。就像整理资料时，有时你需要快速找到某本书（数组），有时又需要灵活添加或移除文件（链表）。
相对地址
相对地址计算是计算机科学中的一个重要概念，特别是在程序设计和内存管理方面。相对地址，就像是指示从一个已知位置到目标位置的距离和方向的指令。
让我们用一个简单的例子来理解这个概念：想象一下，你在一个长走廊的起点，走廊上有很多门，每扇门都有一个编号。这些编号就像内存地址。现在，如果我告诉你要到达的门距离当前位置是第5扇门，这个“第5扇门”的指示就是一个相对地址。你不需要知道门的具体编号，只需要知道它相对于你当前位置的距离。
在计算机中，相对地址计算通常涉及以下步骤：
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基地址：这是一个已知的起点，就像走廊起点的位置。在程序中，基地址可能是程序开始的内存地址或一个数据结构的起始位置。
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偏移量：这是从基地址到目标地址的距离。继续使用走廊的比喻，这就像是从起点到第5扇门的距离。
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计算相对地址：最终的相对地址是基地址加上偏移量。如果基地址是100，偏移量是5，那么相对地址就是105。
这种计算方法在程序设计中非常有用，因为它使得程序更加模块化和可移植。程序不需要知道它在内存中的确切位置，只需要知道相对于某个已知点的位置。这就像你不需要知道整个城市的地图，只需要知道如何从你的位置到达目的地。
三角阵、三元组表、快速转置算法
三角阵、三元组表和快速转置算法都是处理矩阵的概念，让我们来依次了解它们。
三角阵
三角阵是一种特殊的矩阵。在数学中，一个矩阵就像是一个大方格纸，里面填满了数字。如果这个方格纸上的数字只在对角线以上（或以下）有值，其他地方都是0，那么这个矩阵就被称为三角阵。具体来说：
- 上三角阵：对角线以上的位置有值，对角线以下都是0。
- 下三角阵：对角线以下的位置有值，对角线以上都是0。
三元组表
三元组表是一种存储稀疏矩阵的方法。稀疏矩阵就像一个大方格纸，但上面的大部分格子都是空的（即为0）。为了节省空间，我们只存储那些非0的格子。每个非0元素用一个三元组（行位置、列位置、值）来表示。比如，如果一个元素是5，位于第2行第3列，那么就用（2, 3, 5）来表示。
快速转置算法
快速转置算法是用来转置稀疏矩阵的一种方法。转置就是把所有行变成列，所有列变成行，就像把方格纸顺时针转90度。在稀疏矩阵中，这意味着我们要把每个元素的行和列交换位置。快速转置算法是一种高效的方法，可以在不需要移动整个矩阵的情况下完成这个任务。
快速转置算法通常包括以下步骤：
- 统计每列中非零元素的数量。
- 计算转置矩阵中每列的起始位置。
- 根据这些信息，将每个非零元素放到转置矩阵的正确位置。
通过这种方式，快速转置算法能够高效地处理稀疏矩阵的转置操作，而不需要对整个矩阵进行大量的移动和复制操作。
举个栗子
### 初始矩阵和它的三元组表
假设我们有一个3x4的稀疏矩阵，如下所示：
```
0 0 0 0
5 8 0 0
0 0 3 0
```
这个矩阵的三元组表表示为：
| 行 | 列 | 值 |
|----|----|----|
| 2 | 1 | 5 |
| 2 | 2 | 8 |
| 3 | 3 | 3 |
### 步骤1：统计每列中非零元素的数量
- 第1列有1个非零元素（值5）。
- 第2列有1个非零元素（值8）。
- 第3列有1个非零元素（值3）。
- 第4列没有非零元素。
### 步骤2：计算转置矩阵中每列的起始位置
- 起始位置初始化为0。
- 第1列的起始位置是0（因为是第一列）。
- 第2列的起始位置是1（第1列的起始位置0 + 第1列的非零元素数量1）。
- 第3列的起始位置是2（第2列的起始位置1 + 第2列的非零元素数量1）。
- 第4列的起始位置是3（第3列的起始位置2 + 第3列的非零元素数量1）。
### 步骤3：根据这些信息，将每个非零元素放到转置矩阵的正确位置
现在，我们使用原始三元组表中的信息来填充转置后的三元组表。我们需要交换每个元素的行和列：
- 原始的第一个元素（2, 1, 5）在转置矩阵中变为（1, 2, 5）。因为原始元素在第2列，所以它在转置矩阵的第2行，其列是原始元素的行，即1。
- 原始的第二个元素（2, 2, 8）在转置矩阵中变为（2, 2, 8）。
- 原始的第三个元素（3, 3, 3）在转置矩阵中变为（3, 3, 3）。
转置后的三元组表：
| 行 | 列 | 值 |
|----|----|----|
| 1 | 2 | 5 |
| 2 | 2 | 8 |
| 3 | 3 | 3 |
通过这种方法，我们能够将矩阵有效地进行转置，且操作仅限于非零元素，大大提高了效率。
广义表
广义表（Generalized List）是一种非常灵活的数据结构，可以用来表示复杂的数据组织形式。想象一下，你有一个大盒子，这个盒子里面可以放很多东西，包括小盒子，而这些小盒子里面又可以放更多的东西，甚至是其他更小的盒子，如此类推。广义表就是类似这样的结构。
在更正式的定义中，广义表是线性表的推广。在普通的线性表中，每个元素都是单一的数据项。但在广义表中，每个元素可以是单个数据项，也可以是另一个广义表。这就给了广义表很大的灵活性和表达能力。
为了更好地理解，让我们看一个广义表的例子：
```
L = (a, (b, c, d), e, (f, (g, h)))
```
在这个广义表`L`中：
- `a` 和 `e` 是普通的数据项。
- `(b, c, d)` 是广义表中的一个子表。
- `f` 是另一个普通的数据项。
- `(g, h)` 是另一个子表，它又是`(f, (g, h))`子表的一部分。
广义表可以非常深入地嵌套，使得它们能够表示非常复杂的数据结构。在某些编程语言中，例如LISP，广义表是核心的数据结构，广泛用于各种应用中。
二叉树
性质
-
最大节点数：在二叉树的第
i层上最多有2^(i-1)个节点（层数从1开始计算）。就像每一代家庭的成员数量最多是前一代的两倍。 -
深度和节点总数：深度为
k的二叉树最多有2^k - 1个节点（k从1开始）。这就像一个家族树，如果有k代人，那么最多的家族成员数是2的k次方减1。 -
完全二叉树：在一个深度为
k的二叉树中，如果除了最后一层之外，其他每层节点数都达到最大，并且最后一层的节点都尽可能地向左排列，那么这个二叉树就是完全二叉树。 -
平衡二叉树：在任何节点的两个子树的高度最多相差1的二叉树被称为平衡二叉树。这是为了确保树的高度尽可能低，避免一边过长造成的操作效率低下。
-
路径和高度：一个节点的路径长度是指从根节点到该节点的边的数目。树的高度是所有节点的路径长度中的最大值。这就像测量从家族树的根源到某一个成员的距离。
完全二叉树和完美二叉树的区别
-
完全二叉树（Complete Binary Tree）：在这种二叉树中，除了最后一层之外，其他每层节点数都达到最大，并且最后一层的节点都尽可能地向左排列。完全二叉树不一定是满的，但它没有空隙（除了最后一层的右侧）。
-
完美二叉树（Perfect Binary Tree）：在这种二叉树中，所有内部节点都有两个子节点，并且所有叶子都在同一层上。完美二叉树的一个特征是它是完全对称的。如果一个二叉树是完美的，那么它一定是完全的，但反过来不一定成立。
举个例子，一个只有根节点的二叉树是完全二叉树，但不是完美二叉树。而一个根节点下有两个子节点，且这两个子节点没有任何子节点的二叉树既是完全二叉树也是完美二叉树。
哈夫曼树
哈夫曼树（Huffman Tree）是一种特殊的二叉树，用于有效编码，特别是在数据压缩领域中。在哈夫曼树中，每个叶子节点都有一个权值，这个权值代表了某个字符或者数据项的重要性或频率。哈夫曼树的带权路径长度是衡量这种树效率的一个重要指标。
带权路径长度（WPL）
带权路径长度是指树中所有叶子节点的权值与其路径长度乘积之和。路径长度是指从根节点到叶子节点的路径上的边的数目。
如何计算
假设哈夫曼树有n个叶子节点，每个叶子节点i有一个权值w_i，从根节点到这个叶子节点的路径长度为l_i，那么哈夫曼树的带权路径长度WPL可以这样计算：
WPL = ∑(w_i * l_i) 对所有 i = 1 到 n
换句话说，就是将每个叶子节点的权值乘以从根到该节点的路径长度，然后把所有这些乘积加起来。
例子
假设有一个哈夫曼树，它的叶子节点有这些权值：2, 3, 4, 5，这些叶子节点到根节点的路径长度分别是：3, 3, 2, 2。那么其WPL是：
WPL = (2 * 3) + (3 * 3) + (4 * 2) + (5 * 2) = 6 + 9 + 8 + 10 = 33
这个值反映了哈夫曼树编码的效率，WPL越小，表示编码越高效。这也是构建哈夫曼树时追求的目标。
线索二叉树
线索二叉树是二叉树的一种扩展，其中的空指针用来存储节点的前驱或后继信息，这就像是在树的结构中添加了额外的线索，帮助我们更快地找到某个节点的前驱节点和后继节点。
线索二叉树的定义
在普通的二叉树中，每个节点有两个指针，分别指向它的左子节点和右子节点。但是，对于有些节点，这些指针可能为空，特别是在树的叶子节点上。在线索二叉树中，这些空指针被用来指向该节点在某种遍历顺序下的前驱节点或后继节点。
前驱和后继的查找
-
前驱节点：某节点的前驱节点是在中序遍历中该节点之前的节点。在线索二叉树中，如果一个节点的左指针为空，那么这个指针会指向它的前驱节点。
-
后继节点：某节点的后继节点是在中序遍历中该节点之后的节点。在线索二叉树中，如果一个节点的右指针为空，那么这个指针会指向它的后继节点。
线索化的过程
线索化的过程实际上就是遍历二叉树，并在遍历过程中将空的左右指针改为指向前驱或后继节点的过程。这通常在中序遍历中完成，因为中序遍历自然地反映了节点的前驱和后继关系。
查找示例
假设你正在进行中序遍历，并且当前在某个节点N上：
- 如果N的左指针为空，则该左指针指向N的前驱节点。
- 如果N的右指针为空，则该右指针指向N的后继节点。
通过这种方式，线索二叉树允许我们不使用栈或递归就能进行高效的遍历，特别是在对树进行频繁的遍历操作时。
举个栗子
假设我们有一个简单的二叉树，节点按中序遍历的顺序是 A, B, C, D, E, F, G。在这个例子中，我们只关注中序遍历。
D
/ \
B F
/ \ / \
A C E G
在这棵树中，中序遍历的顺序是 A → B → C → D → E → F → G。
线索化过程
-
节点A：
- 没有左子节点，所以没有前驱。
- 右子节点是B，但在中序遍历中，A的直接后继是B。
-
节点B：
- 左子节点是A，所以A是B的前驱。
- 没有右子节点，所以根据中序遍历，B的后继是C。
-
节点C：
- 没有左子节点，所以B是C的前驱。
- 没有右子节点，所以D是C的后继。
以此类推，我们可以为每个节点确定前驱和后继。在线索二叉树中，这些信息将被编码到树的结构中。例如，对于没有左子节点的节点，其左指针将指向其前驱；对于没有右子节点的节点，其右指针将指向其后继。
查找前驱和后继
- 在线索化后的树中，找到节点D的前驱和后继很简单：
- D的前驱是C（因为C是中序遍历中D之前的节点）。
- D的后继是E（因为E是中序遍历中D之后的节点）。
在实际应用中，线索二叉树使得遍历变得更加高效，特别是当重复遍历时，因为它避免了使用栈或递归。这对于某些特定的算法实现，比如在嵌入式系统或资源受限的环境中，是非常有用的。
二叉链表、三叉链表
二叉链表和三叉链表是用来表示二叉树结构的两种链表形式，它们各自有不同的特点和用途。
二叉链表
二叉链表是表示二叉树的一种常见方式。在这种结构中，每个节点包含三部分信息：
- 数据域：存储节点的值或数据。
- 左指针域：指向该节点的左子节点。
- 右指针域：指向该节点的右子节点。
这种结构就像是每个家庭成员都有一个记录本（数据域），以及两个链接，一个指向他们的左孩子，另一个指向他们的右孩子。二叉链表很好地反映了二叉树的结构，每个节点都直接连接到其子节点。
三叉链表
三叉链表是二叉链表的一个扩展，用于表示二叉树。除了二叉链表中的三部分信息，三叉链表的节点还包含一个额外的指针域：
- 父指针域：指向该节点的父节点。
因此，在三叉链表中，每个节点都有以下部分：
- 数据域
- 左指针域
- 右指针域
- 父指针域
这就像是家庭成员除了知道自己的孩子，还知道自己的父母。这种结构的优点是可以很容易地访问节点的父节点，这在某些算法中是非常有用的，比如在需要回溯到父节点的操作中。
总的来说，二叉链表适用于大多数二叉树操作，而三叉链表提供了额外的便利，允许直接访问父节点，但代价是增加了额外的空间消耗。