【视觉SLAM十四讲学习笔记】第五讲——相机模型
专栏系列文章如下：
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第一讲——SLAM介绍
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第二讲——初识SLAM
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转矩阵
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——旋转向量和欧拉角
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——四元数
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第三讲——Eigen库
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第四讲——李群与李代数基础
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第四讲——指数映射
【视觉SLAM十四讲学习笔记】第四讲——李代数求导与扰动模型
前面两讲中，我们介绍了“机器人如何表示自身位姿”的问题，部分地解释了SLAM经典模型中变量的含义和运动方程部分。本讲将讨论“机器人如何观测外部世界”，也就是观测方程部分。而在以相机为主的视觉SLAM中，观测主要是指相机成像的过程。
三维世界中的一个物体反射或发出的光线，穿过相机光心后，投影在相机的成像平面上。相机的感光器件接收到光线后，产生测量值，就得到了像素，形成了我们见到的照片。这个过程能否用数学原理来描述呢?
本讲将首先讨论相机模型，说明投影关系具体如何描述，相机的内参是什么。同时，简单介绍双目成像与RGB-D 相机的原理。然后，介绍二维照片像素的基本操作。最后，根据内外参数的含义，演示一个点云拼接的实验。
相机模型
相机将三维世界中的坐标点（单位为米）映射到二维图像平面（单位为像素）的过程能够用一个几何模型进行描述，称为针孔模型，它描述了一束光线通过针孔之后，在针孔背面投影成像的关系。 同时，由于相机镜头上的透镜的存在，使得光线投影到成像平面的过程中会产生畸变。因此，我们使用针孔和畸变两个模型来描述整个投影过程。这两个模型能够把外部的三维点投影到相机内部成像平面，构成相机的内参数（Intrinsics）。
针孔相机模型
在一个暗箱的前方放着一支点燃的蜡烛，蜡烛的光透过暗箱上的一个小孔投影在暗箱的后方平面上，并在这个平面上形成一个倒立的蜡烛图像。在这个过程中，小孔模型能够把三维世界中的蜡烛投影到一个二维成像平面。同理，可以用这个简单的模型来解释相机的成像过程。如图所示：
对这个简单的针孔模型进行几何建模。设 O − x − y − z 为相机坐标系，z 轴指向相机前方，x 向右，y 向下。O为摄像机的光心，也是针孔模型中的针孔。现实世界的空间点P，经过小孔O投影之后，落在物理成像平面 O′ − x′ − y′ 上，成像点为 P′。设 P 的坐标为 [X,Y,Z]T，P′ 为 [X′,Y′,Z′]T，设物理成像平面到小孔的距离为f（焦距）。那么，根据三角形相似关系，有：
其中负号表示成的像是倒立的。不过，实际相机得到的图像并不是倒像，我们可以等价地把成像平面对称地放到相机前方，和三维空间点一起放在摄像机坐标系的同一侧，如图所示。这样做可以把公式中的负号去掉，使式子更加简洁：
把X′,Y′ 放到等式左侧，整理得：
这描述了点 P和它的像之间的空间关系，这里所有点的单位都可以理解成米。不过在相机中，我们最终获得的是一个个的像素，这还需要在成像平面上对像进行采样和量化。为了描述传感器将感受到的光线转换成图像像素的过程，设在物理成像平面上固定着一个像素平面 o − u − v。我们在像素平面得到了P′的像素坐标：[u,v]T。
像素坐标系（或图像坐标系）通常的定义方式是：原点o′位于图像的左上角，u 轴向右与 x 轴平行，v 轴向下与 y 轴平行。像素坐标系与成像平面之间，相差了一个缩放和一个原点的平移。设像素坐标在 u 轴上缩放了 α 倍，在 v 上缩放了 β 倍。同时，原点平移了 [c_x,c_y]T。那么，P′ 的坐标与像素坐标[u,v]T 的关系为：
代入式
把 αf 合并成 f_x，把 βf 合并成 f_y，得：
其中，f 的单位为米，α,β 的单位为像素/米，所以 f_x,f_y 和 c_x,c_y 的单位为像素。写成矩阵形式，左侧需要用到齐次坐标，右侧则是非齐次坐标：
我们习惯性把Z挪到左侧：
K矩阵称为相机的内参数矩阵（Camera Intrinsics）。通常相机的内参在出厂之后是固定的，不会在使用过程中发生变化。但有时需要自己确定相机的内参，也就是所谓的标定。
有内参，自然也有相对的外参。前面内参公式中的P是在相机坐标系下的坐标。由于相机在运动，所以P是相机的世界坐标（记为Pw）根据相机的当前位姿变换到相机坐标系下的结果。相机的位姿由它的旋转矩阵R和平移向量t来描述。那么有：
后一个式子隐含了一次齐次坐标到非齐次坐标的转换。它描述了P的世界坐标到像素坐标的投影关系。相机的位姿R,t称为相机的外参数（Camera Extrinsics） 。 相比于不变的内参，外参会随着相机运动发生改变，同时也是 SLAM 中待估计的目标，代表着机器人的轨迹。
式子表明，可以把一个世界坐标点先转换到相机坐标系，再除掉它最后一维（Z）的数值（即该点距离相机成像平面的深度），这相当于把最后一维进行归一化处理，得到点 P 在相机归一化平面上的投影：
归一化坐标可看成相机前方z=1处的平面上的一个点，这个 z = 1 平面也称为归一化平面。归一化坐标再左乘内参就得到了像素坐标，所以可以把像素坐标 [u,v]T 看成对归一化平面上的点进行量化测量的结果。从这个模型中可以看出，对相机坐标同时乘以任意非零常数，归一化坐标都是一样的，这说明点的深度在投影过程中被丢失了，所以单目视觉中没法得到像素点的深度值。
畸变模型
为了获得好的成像效果，我们在相机的前方加了透镜。透镜的加入会对成像过程中光线的传播产生新的影响：一是透镜自身的形状对光线传播的影响；二是在机械组装过程中，透镜和成像平面不可能完全平行，这也会使光线穿过透镜投影到成像面时的位置发生变化。
由透镜自身形状引起的畸变（Distortion，也叫失真）称为径向畸变。在针孔模型中，一条直线投影到像素平面上还是一条直线。可是，在实际拍摄的图片中，摄像机的透镜往往使得真实环境中的一条直线在图片中变成了曲线。越靠近图像的边缘，这种现象越明显。由于实际加工制作的透镜往往是中心对称的，这使得不规则的畸变通常径向对称。它们主要分两大类：桶形畸变和枕形畸变。
桶形畸变图像放大率随着与光轴之间的距离增加而减小，而枕形畸变则恰好相反。在这两种畸变中，穿过图像中心和光轴有交点的直线还能保持形状不变。
除了透镜的形状会引入径向畸变，由于在相机的组装过程中不能使透镜和成像面严格平行，所以也会引入切向畸变。
考虑归一化平面的任意一点p，它的坐标为[x,y]T ，也可写成极坐标的形式[r,θ]T ，其中r表示点p与坐标系原点之间的距离，θ表示与水平轴的夹角。
径向畸变可以看成坐标点沿着长度方向发生了变化，也就是其距离原点的长度发生了变化。通常假设这些畸变呈多项式关系，即：
其中，[x_distorted,y_distorted]T 是畸变后点的归一化坐标。
切向畸变可以看成坐标点沿着切线方向发生了变化，也就是水平夹角发生了变化。对于切向畸变，可以使用另外两个参数p1 ，p2进行纠正：
联合上面两式，对于相机坐标系中的一点P，能够通过 5 个畸变系数找到这个点在像素平面上的正确位置：
-
将三维空间点投影到归一化图像平面。设它的归一化坐标为 [x,y]T。
-
对归一化平面上的点计算径向畸变和切向畸变。
-
将畸变后的点通过内参数矩阵投影到像素平面，得到该点在图像上的正确位置。
在实际应用中，可以灵活选择纠正模型，比如只选择 k1,p1,p2 这 3 项等。
实际的图像系统中，学者们提出了很多其他的模型，比如相机的仿射模型和透视模型等，同时也存在很多其他类型的畸变。视觉 SLAM 中一般都使用普通的摄像头，针孔模型及径向畸变和切向畸变模型已经足够。 当一个图像去畸变之后，我们就可以直接用针孔模型建立投影关系，不用考虑畸变了。
最后，总结一下单目相机的成像过程：
- 世界坐标系下有一个固定的点P，世界坐标为P_W。
- 由于相机在运动，它的运动由R，t或变换矩阵T∈SE(3)描述。P的相机坐标为P˜c=RP_W+t
- 这时的 P˜c 的分量为 X,Y,Z，把它们投影到归一化平面 Z = 1 上，得到 P 的归一化坐标：Pc = [X/Z,Y /Z,1]T 。
- 有畸变时，根据畸变参数计算P_c发生畸变之后的坐标
- P的归一化坐标经过内参后，对应到它的像素坐标：P_uv=KP_c
双目相机模型
单目相机仅根据一个像素，我们无法确定这个空间点的具体位置。这是因为，从相机光心到归一化平面连线上的所有点，都可以投影至该像素上（相当于没有了Z轴维度）。只有当P的深度确定时（比如通过双目或 RGB-D 相机），我们才能确切地知道它的空间位置。如图所示。
测量像素距离（或深度）的方式有很多种，比如人眼可以根据左右眼看到的景物差异（视差）来判断物体离我们的距离。双目相机的原理一样：通过同步采集左右相机的图像，计算图像间视差，来估计每一个像素的深度。
双目相机一般由左眼相机和右眼相机两个水平放置的相机组成。在左右双目相机中，我们可以把两个相机都看作针孔相机。它们是水平放置的，意味着两个相机的光圈中心都位于 x 轴上。两者之间的距离称为双目相机的基线（Baseline，记作 b），是双目相机的重要参数。
考虑一个空间点 P，它在左眼相机和右眼相机各成一像，记作 P_L,P_R。由于相机基线的存在，这两个成像位置是不同的。理想情况下，由于左右相机只在 x 轴上有位移，因此 P 的像也只在 x 轴（对应图像的u轴）上有差异。记它的左侧坐标为 u_L，右侧坐标为 u_R。根据 △PP_LP_R 和 △PO_LO_R 的相似关系，有：
整理得：
其中 d 定义为左右图的横坐标之差，称为视差。根据视差，我们可以估计一个像素与相机之间的距离。视差与距离成反比：视差越大，距离越近。同时，由于视差最小为一个像素，于是双目的深度存在一个理论上的最大值，由 fb 确定。可以看到，当基线越长时，双目能测到的最大距离就会越远。
视差 d 的计算比较困难，需要确切地知道左眼图像某个像素出现在右眼图像的哪一个位置（即对应关系）。当想计算每个像素的深度时，其计算量与精度都将成为问题，而且只有在图像纹理变化丰富的地方才能计算视差。由于计算量的原因，双目深度估计仍需要使用 GPU 或FPGA 来实时计算。
RGB_D相机模型
RGB-D 相机是主动测量每个像素的深度。目前的 RGB-D 相机按原理可分为两大类：
- 红外结构光（Structured Light）测量像素距离： Kinect 1 代、Project Tango 1 代、Intel RealSense 等。
- 飞行时间法（Time-of-flight，ToF）测量像素距离：Kinect 2 代和一些现有的 ToF 传感器等。
无论是哪种类型，RGB-D 相机都需要向探测目标发射一束光线（通常是红外光）。在红外结构光原理中，相机根据返回的结构光图案，计算物体与自身之间的距离。而在 ToF 原理中，相机向目标发射脉冲光，然后根据发送到返回之间的光束飞行时间，确定物体与自身之间的距离。ToF原理的相机和激光雷达十分相似，只不过激光雷达是通过逐点扫描来获取这个物体的距离，而ToF相机则可以获得整个图像的像素深度。
在测量深度之后，RGB-D 相机通常按照生产时的相机摆放位置，自己完成深度与彩色图像素之间的配对，输出一一对应的彩色图和深度图。可以在同一个图像位置，读取到色彩信息和距离信息，计算像素的 3D 相机坐标，生成点云（Point Cloud）。对 RGB-D 数据，既可以在图像层面进行处理，也可在点云层面处理。
RGB-D 相机能够实时地测量每个像素点的距离。但用红外光进行深度值测量的 RGB-D 相机，容易受到日光或其他传感器发射的红外光干扰，因此不能在室外使用。在没有调制的情况下，同时使用多个 RGB-D 相机时也会相互干扰。对于透射材质的物体，因为接收不到反射光，所以无法测量这些点的位置。