dp专题13 零钱兑换II
本题链接：. - 力扣（LeetCode）
题目：
思路：
根据题意，这是一道很裸的背包问题，其中这里是返回 背包方案数 的。
我们可以直接推出公式 ： dp [ j ] += dp[ j - coins[ i ] ]
在我之前做的笔记中，写过具体的背包方案数dp公式，参考我之前的详解即可：dp专题10 目标和
最后我们再明确一下题目，题目要求是 硬币数量是无限的，说明这是一个 完全背包问题。
完全背包问题 和 01 背包问题区别在于 遍历背包的顺序。
01 背包的 背包 遍历顺序： 逆向。
完全背包的 背包 遍历顺序： 正向。
具体原理是：
背包 逆向 遍历的时候， 物品只能 取 1 次.(01 背包)
代码详解：
for(int i = 0;i < goods.size();++i)
{
for(int j = v;j >= goods[i].v;--j)
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j - goods.v] + goods.w);
}
}
/*
逆向 的时候， j == 背包容量(v) 时， 只能取当前的一个 物品 i
随后随着 --j 后面 dp[j] 紧随其后 只取一个物品 i
所以达到了，只取 一次 的效果
*/ 背包 正向 遍历的时候， 物品可以取多次.(完全 背包)
代码详解：
for(int i = 0;i < goods.size();++i)
{
for(int j = goods[i].v;j <= v;++j)
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j - goods.v] + goods.w);
}
}
/*
正向 的时候， j == 物品容量(goods.v) 时， 取当前的一个 物品 i
随后随着 ++j 后面 dp[j] 紧随其后 取一个物品 i
直到达到了 dp[v] ，使得 物品 i 取了多次
*/ 所以 完全背包问题 和 01 背包问题区别在于 遍历背包的顺序。
同样的道理，我们结合dp递推的公式 + 背包遍历顺序，就可以解出这道完全背包问题方案数的问题了。
在这里再扩展一下问题，遍历顺序中，先遍历背包还是先遍历物品？
我们再看一下这两种遍历方法的效果：
①先遍历物品再遍历背包
for(int i = 0;i < goods.size();++i) // 遍历物品
{
for(int j = goods[i].v;j <= v;++j) // 遍历背包
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j - goods.v] + goods.w);
}
}
/*
假设 物品 等于 下标
那么背包会得到的集合是：
{1}
{1,2} , {2}
{1,2,3} , {2,3} , {3}
....
获取的集合中不会出现 {2,1}... 等集合
说明 先遍历物品再遍历背包是一个 组合 数
*/ ②先遍历背包再遍历物品
for(int j = goods[i].v;j <= v;++j) // 遍历背包
{
for(int i = 0;i < goods.size();++i) // 遍历物品
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j - goods.v] + goods.w);
}
}
/*
假设 物品 等于 下标
那么背包会得到的集合是：
{1}
{1,2} , {2，1} ，{2}
....
获取的集合中会出现 {2,1}... 等集合
说明 先遍历物品再遍历背包是一个 排列 数
*/ 所以 背包问题 遍历顺序中 ：
先遍历物品再遍历背包： 组合 数。
先遍历背包再遍历物品： 排列 数。
综上所述。
代码详解如下：
inline int change(int& amount, vector& coins)
{
vectordp(amount + 1,0);
dp[0] = 1; // dp 初始化 凑成 0 有 1种方法 就是 +0
// 组合数遍历
for(int &i:coins) // 遍历物品
{
for(int j = i;j <= amount;++j) // 遍历背包
{
dp[j] += dp[j - i]; // dp 递推公式
}
}
return dp[amount]; // 返回结果
} 