【机器学习300问】8、为什么要设计代价函数（损失函数）？它有什么用？

一、先介绍一下线性回归模型

（1）基本概念理解

        文字解释：线性回归模型顾名思义，他处理的回归问题，是监督学习的一种。线性回归模型是一种预测模型，其基础是假设目标值和输入值之间存在线性关系。通过一条最佳拟合线（或者在多维情况下的一个超平面）对某些数据点进行拟合的过程。

        数学公式（最简单的一元线性方程）：

         

        其中的w是权重，b是偏置，他们在机器学习中就是要学习的参数。y是目标值，x是输入值或者叫做特征量。线性回归模型的有效性基于一个关键假设，即输入变量与目标变量之间真实存在线性关系。如果这个假设不成立，那么模型的预测效果可能就会受到影响。

（2）实际应用举例

• 商品销量预测：可以把销量设定为目标值，将价格、促销、节假日等因素设定为输入值，建立线性回归模型进行预测。
• 房价预测：将房价设为目标值，将房屋的面积、位置、装修等级等因素设定为输入值，建立模型进行预测。
• 股票价格预测：可以基于过往的股价、交易量等信息（输入值），建立线性回归模型，预测未来的股票价格（目标值）。

（3）线性回归模型中的名词或符号解释

名词或符号	解释
x	输入值、输入变量、特征值、特征量
y	目标值、目标变量、真实值
	模型的预测值
m	训练集样本总数
（x, y）	某一个训练样本
模型	线性回归模型，其实就是一个函数，用符号f表示
损失函数	损失函数也可以叫代价函数，用符号J表示。模型在训练过程中用于度量预测输出与真实目标值之间差异的函数。通过优化这个函数（通常是使其最小化），机器学习算法得以调整其参数以获得更好的预测性能。
参数	就是w和b，“学习”的目标就是找出能让预测最准确的w和b

（4）怎么得到最拟合数据的线呢？

        “线”就是线性回归模型，就多项式函数，这个问题其实也可以换成，怎么判断我找到的函数预测效果最好？如果有一种指标能将预测值和真实目标值之前的差距表示出来，就能作为判断预测好坏的标准。

二、从线性回归模型中理解代价函数

        让预测值减去真实值不就是误差了嘛！但是误差应该始终是一个正数才好让人理解，所以公式可以写成这样，其中平方就是为了让误差是正的。

        

        但这只有一个点的误差，我要是能在整体上把握这个线与所有点的误差，也就是说我要让我的所有样本点对于这个线都有最小的差距，这样就能真的判断是否真的预测精准了，于是可以用累加和处理。

        

        这样我就得到了总误差，但我只是想预测下一个具体的x，他对应的y，所以还得除上m变成平均误差，这就是均方误差。

        

        我们给他取一个名字J函数，为了后面梯度下降求导计算方便，给他添加除个2，于是线性回归模型的损失函数最常用的均方误差 (Mean Squared Error, MSE)就是如下形式

        

y = wx的线性回归模型拟合示意图

三、代价函数的作用

        代价函数（也叫损失函数或成本函数）在机器学习模型中起着至关重要的作用。它用来衡量模型预测的准确性。

        换句话说，代价函数可以帮助我们理解模型的性能如何，模型的预测值与真实值相比差距有多大。代价函数有两个主要的作用：

（1）性能衡量

        代价函数为我们提供了一种方法来衡量预测值和真实值之间的差距。如果模型的预测值与实际值很接近，代价函数的值会很小，反之则很大。

（2）参数优化

        在训练机器学习模型的过程中，我们希望找到一组参数使得代价函数达到最小值。这通常通过优化算法（如梯度下降等）来实现。根据代价函数对参数的梯度，我们可以调整参数，使得模型的预测结果更接近真实值。

        因此，代价函数是机器学习中模型评估和优化的关键，它帮助我们量化模型的误差，并引导我们如何调整模型的参数以改进其性能。