四阶龙格库塔法的基本思想_利用龙格库塔法求解质点运动方程

利用龙格库塔法求解质点运动方程

利用龙格 -库塔法求解质点运动常微分方程1、 待解问题讨论常微分方程的初值问题，边值问题的数值解法，最常用的基本方法就是龙格-库塔法使一些物理方程的计算简便，所得结果的精确提高。下面是利用龙格-库塔法求解一个质点运动的常微分方程以初速 自地球表面(半径 )竖直向上发射一质量skmv/80kmR60为 m 的火箭，如图所示。若不计空气阻力，火箭所受引力 F 大小与它到地心距离的平方成反比，求火箭所能到达的最大高度 H。火箭为我们分析的对象，对其做受力分析，火箭在任意位置 x 处仅受地球引力 F 作用。由题意知，F 的大小与 x 2 成反比，设为比例系数，则有：(1)2当火箭处于地面时，即 时 F = m g ，由式(1)可得 ，于Rx 2mgR是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大小为 2xF由于火箭作直线运动，火箭的直线运动微分方程式为：分离变量积分 2vxgRd2、 物理机理1.龙格-库塔法的基本思想及一般形式设初值问题 ，由微分中值定理可知，必存在 ，],[)(baxy ],[1nx使 )(,)()()()(1yhfxyhnnn 2xgRdtmdvttvx22mdv设 ，并记 ，则)(nnxy)(,*yfK*1hKxnn其中 称为 在 上的平均斜率，只要对平均斜率 提供一*K)(xy][1,n *K种算法，上式就给出了一种数值解公式，例如，用 代替),(1nyxf，就得到欧拉公式，用 代替 ，就得到向后欧拉公* ),(12nyxfK*式，如果用 的平均值来代替 ，则可得到二阶精度的梯形公式。21,K*可以设想，如果在 上能多预测几个点的斜率值，用它们的加],[1nx权平均值代替 ，就有望的到具有较高精度的数值解公式，这就是*龙格-库塔( Runge-Kutta)法的基本思想。龙格-库塔公式的一般形式：(1 )),(),111ijjinini irinn KhyxfKfkchy其中 是 在 点的斜率预测值； 均为常i)(y)10(iin ijic,数，选取这些常数的原则是使(1)式有尽可能高的精度。2. 二阶龙格-库塔法的龙格-库塔公式为 :2r(2)),(),)(12221 21KhyxfKchynnnn 式中 均为待定常数，我们希望适当的选取这些系数使公式211,c的精度尽可能高，先将 按照二元函数泰勒级数：2 .),()(!1),( 2120122 nknknn yxfhxKhyxf 展开得到： .)],(),( ),(),(2,[!21 ,,),(),(1 212 12 nny nnxyx ynxnxffh yxffhfyfK为了叙述方便，把 和偏导数里面的 省略不写，将 代,nf nyx, 2K入(2) 式的第一式， 得：再用泰勒公式将 展开，先计算得到以下各式：)(1nxy )(2,2fffffyf yxyyxyx  )2(2()22113 1211 fffch ffchfcy yxyx yxnn 再代入泰勒公式中： .) 2(6)(2 .)(!3)!))( 2321  ff fffhfhy xyhxyxyxyx yxyxyxn nnnnn得到局部阶段误差为： .)]()216(31[ ])21()2[()1(213 212211  fffcfcfh fcfhfcyxRyxyy xyx yxnnn要使局部截断误差为 ， 的系数需为零，于是)(3hOffyx,2121cc该方程组有 4 个未知数 3 个方程，所以有无穷多个解，它的每组解代入(2)式得到的近似公式都为二阶龙格- 库塔方法。例如，取，得到近似公式为：1,1221c ),())(2121 21hKyxfKhynnnn此处参数还有许多种不同的值，这里不再举例说明。3、四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法的表达形式如下： ),( )),(), )( 36251434 3223 1121 4321 KbKbyhaxfKfyx KcKchynnnnnn 仿照二阶龙格-库塔法的解法，通过 N=4 阶的泰勒级数的系数匹配，使局部截断误差为 ，)(5hO24112)(861)(431263146254213132543212423312436542321bawbababawaawaba得到 11 个方程和 13 个未知量，因此需要补充两个条件，求解得到。0,21ba最后得出经典的四阶龙格-库塔公式： ),(2),())2(6343 121 431hKyxfKhyxfKKynnnnn三、数值计算方案微分方程用积分可以解得火箭达到的高度，但是如果用数值方法解微分方程，所得的结果要精确得多。所以对于模型中的微分方程，用四阶龙格-库塔法对其求解所得结果精度更高，该方法还可以61,3,1,6,1 ,0,,2,,,2426 5433 wwb bba应用更为复杂的微分方程，如布朗动力学运动方程，但是对于高阶的微分方程，需对其降阶再。上述模型中 ,地球半径取 千米, 火箭到skmv/80kmRx600达最大高度处的速度为 0，设当 时所对应的火箭距离地球球iv心的高度为 ，那么 即为火箭能达到的最大高度。ixxHi对于以下微分方程及其初值可知 ，利用上述所求的四阶龙格-库塔公式得到该模型的龙格-库塔式子： ),(2),())2(6343 121 431hKvxfKhvxfKKvnnnnn根据题目，有初值 ， , 即可求解. 取 h=0.46025.1)(83),(2701 vxfK90.75.,6(2f271036),(xvfHRxRxvvxgd ,60,813002720iv0iv2905.1)746.,260(3 fK36.8.,4f 48351.7)360.1295.290.15.(6081 v 0nv代入四阶龙格-库塔公式计算，直至 。步长选取为0nv, 相应的 , 对应的值，直到 时，取到相4.0hhxi0iviv应的 ，则最大高度 .ixRHi四、流程图初始值 4.0,6,80hxv求出 ixK,21得出 RxHi将 ixv,再次代入