算法思想 - 贪婪（贪心）算法

贪婪算法

什么是贪婪算法

“贪婪”可以理解为，以逐步的局部最优，达到最终的全局最优。即在每一次选择中都选择当前的最优选择，当选择结束的时候，我们就可以获得全局最优解。（注意，在一定条件下，贪婪策略是正确的，但是在很多情况下，它又是错误的。）

分析贪婪的关键步骤

使用贪婪算法有关键的三步，为了理解方便，这里使用一个例子辅助讲解：

假设我们有一个可以容纳 100kg 物品的背包，可以装下各种物品，现在有 5 种豆子，豆子可以自由拆分和搭配，豆子的总量和总价值如下图。请问如何装豆子才能让背包中的物品的总价值最大？

贪心-豆子理解.jpg

你可以先自己思考该怎么解决这个问题，然后我们再看如何用贪婪的思想来解决这个问题：

1.当我们看到这类问题，首先要联想到贪婪算法：对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下，期望值最大。
在刚才的例子中，限制值->背包承重100kg，期望值->物品总价值最大，数据-> 5 种豆子的价值和总量。

2.尝试使用贪心算法解决问题：根据贪心策略，每次选择在当前情况下，对限制值同等贡献量的情况下，对期望值贡献最大的数据。
在例子中，就是选择单价最高的豆子。

3.验证贪心策略下的结果是否最优。在大部分情况下，只需要举几个例子就可以很方便地验证。

无法使用贪婪的情况

实际上，使用贪心算法解决问题的思路，并不总是能够给出最优解。一下面的例子为例，我们要找一条从 S 到 T 的最短路径：

贪心失效.jpg

使用贪心策略的结果是：S->A->E->T，路径长度为 9 。
而最短路径为：S->B->D->T，路径长度为 6 。

在这个例子中，贪心算法失效的主要原因是，前面的选择会影响之后的选择。你也可以从贪心的思想入手：在很多情况下，局部最优并不一定是全局最优。

在生活中我们也经常会遇到这样的情况：一个人在人生的每一个岔路口都做出了当时最好的选择，他在每一次争斗中都胜利了，但是他的一生却并并不如意。我常常将这种事当做悲剧，薛宝钗在一定程度上是这样的人，二战中的日本走的道路也是这样。最终，薛宝钗并未如愿，日本也走向了深渊。（关于这个问题，你可以去听听《冬吴相对论》的第100期：合成谬误的陷阱）

贪心算法的例子

下面给出几个可以使用贪心策略解决的问题的例子：

1.分糖果
我们有 m 个糖果和 n 个孩子。我们现在要把糖果分给这些孩子吃，但是糖果少，孩子多（m 每个糖果的大小不等，这 m 个糖果的大小分别是 s1，s2，s3，……，sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求也是不一样的，只有糖果的大小大于等于孩子的对糖果大小的需求的时候，孩子才得到满足。假设这 n 个孩子对糖果大小的需求分别是 g1，g2，g3，……，gn。
问题：如何分配糖果，能尽可能满足最多数量的孩子？

分析如下：
限制值：只有 m 个糖果
期望值：满足的孩子最多
数据：孩子的需求 Si 和 糖果的大小 Gi
贪心策略：使用尽量小的糖果满足最容易满足的孩子。
具体行为：在未被满足的孩子中，需找对糖果需求最小的，然后给他糖果中能满足他的最小糖果。

2.钱币找零
这个问题在我们的日常生活中更加普遍。假设我们有 1 元、2 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元这些面额的纸币，它们的张数分别是 c1、c2、c5、c10、c20、c50、c100。我们现在要用这些钱来支付 K 元，最少要用多少张纸币呢？

限制值：找零的面额
期望值：最少的纸币张数
数据：所有纸币的面额
贪心策略：优先使用最大面值
具体行为：你可以自己试试

注意，在现实生活中，RMB的找零可以用贪婪算法解决。但是钱币找零的问题并不能用贪婪解决所有情况。比如我们有三种纸币：100，99，1，现在要 198 元，最优解为 2 个 99 元。而贪婪算法会给出 1 个 100 元 和 98 个 1 元。

3.区间覆盖
假设我们有 n 个区间，区间的起始端点和结束端点分别是[l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我们从这 n 个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？

贪心-区间.jpg

限制值：指定的区间，例如[l1,rn]
期望值：最多的不相交区间
数据：所有区间范围
贪心策略：选择最小范围的不重叠的区间
具体行为：看下图

贪心-区间选择.jpg

经典应用：霍夫曼（哈夫曼）编码

贪婪算法最经典的应用，就是使用霍夫曼编码的方法对数据进行压缩，我们看下面的例子：

假设我有一个包含 1000 个字符的文件，每个字符占 1 个 byte（1byte=8bits），存储这 1000 个字符就一共需要 8000bits，那有没有更加节省空间的存储方式呢？

假设我们通过统计分析发现，这 1000 个字符中只包含 6 种不同字符，假设它们分别是 a、b、c、d、e、f。而 3 个二进制位（bit）就可以表示 8 个不同的字符，所以，为了尽量减少存储空间，每个字符我们用 3 个二进制位来表示。那存储这 1000 个字符只需要 3000bits 就可以了，比原来的存储方式节省了很多空间。不过，还有没有更加节省空间的存储方式呢？

这时候，霍夫曼编码就要登场了，霍夫曼编码不仅会考察文本出现的所有字符集，还会统计文本中字符出现的频率，根据出现的频率，我们给出霍夫曼的编码：

哈夫曼-压缩编码.jpg

上面是霍夫曼编码，由于 a~f 的频率依次递减，所以以人的思维看来，它的编码过程非常简单。但是如何实现一个通用的构造编码的过程呢？这里需要构建哈夫曼树：

我们把每个字符看作一个节点，并且辅带着把频率放到优先级队列中。我们从队列中取出频率最小的两个节点 A、B，然后新建一个节点 C，把频率设置为两个节点的频率之和，并把这个新节点 C 作为节点 A、B 的父节点。最后再把 C 节点放入到优先级队列中。重复这个过程，直到队列中没有数据。

哈夫曼-构建哈夫曼树.jpg

现在，我们给每一条边加上画一个权值，指向左子节点的边我们统统标记为 0，指向右子节点的边，我们统统标记为 1，那从根节点到叶节点的路径就是叶节点对应字符的霍夫曼编码。

哈夫曼树-哈夫曼编码.jpg

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以上就是贪心算法的全部内容

注：本文章的主要内容来自我对极客时间app的《数据结构与算法之美》专栏的总结，我使用了大量的原文、代码和截图，如果想要了解具体内容，可以前往极客时间