什么是粗糙集(三)

很久之前，写过粗糙集方面的东西，然鹅鸽了......最近开始更特征选择了，因此粗糙集又重新开始更了！

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粗糙集方面很久没更了，上一篇还是去年七月下旬，之后很久没更这块了，博客也很长时间没更新。最近在更特征选择，恰好最近一位读者私信我还会写粗糙集这块吗，当然会的啦。
闲话少说，开始吧！

本文与之前的博客一脉相承。

上近似和下近似

以之前病人病历为例，这里我们使用体温这个属性。

病人	体温
	正常
	高
	很高
	正常
	高
	很高

在这个信息系统中 ，其中为论域，，是体温这个属性。
那么，

可以看出体温这个属性被划分成了三类，很高，高和正常。

若给定一个集合，，显然是的粗糙集，因为不能被中的任何一个或者若干个组合构成。

先看上近似。
在中，

此时，称和为关于的上近似。

再看下近似。
在中，

而

此时，称为关于的下近似。

给出上下近似的定义：

在一个决策信息系统中中，是一个等价关系，，关于的上近似和下近似的定义分别如下：

表示是由等价关系形成的等价类，在往期的博客中有相关介绍，传送门。

关于上近似和下近似的一些解释。

• 上近似则是将那些包含的知识库中的集合求并得到的(包含的最小可定义集)
• 下近似是在那些所有的包含于的知识库中的集合中求并得到的(包含在内的最大可定义集）

或者说

• 上近似是根据现有知识，判断中一定属于和可能属于的对象所组成的集合。
• 根据现有知识，判断中所有肯定属于的对象所组成的集合，即式中，表示等价关系下包含关系的等价类。

正域，负域与边界域

紧接着上下近似的概念，正域，负域与边界域的定义如下：

论域被的上下近似集划分为正域，负域以及边界域三个互不相交的区域。
正域：

负域：

边界域：

可以发现：

我们还是以上面体温属性为例。
关于的上近似为，，下近似为，所以
论域被的上下近似集划分为正域为：

负域为：

边界域：

用一张图来表示这个过程：

image.png

图中蓝色曲线为上近似。

实例

下表是一个决策信息系统。

1	0	1	1	1	0	1
2	1	1	0	1	0	1
3	1	0	0	0	1	0
4	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	1	0
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	0

其中论域，条件属性集，决策属性集 。

从上表中有：，，。
每个属性的值域都为。

注意，是条件属性，未包括决策属性。

假设：。
则：
上近似：

下近似：

正域为：

负域为：

边界域：

本文内容暂告一段落，之后将继续更新。

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本文参考了：

• 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.
• 苗夺谦，李国道《粗糙集理论，算法和应用》.
• 张文修《基于粗糙集的不确定决策》.