【算法基础 & 数学】快速幂

题目描述

给定$n$组 $a_i,b_i,p_i$，对于每组数据，求出 $a_i^{b^i}mod{p}_i$ 的值。

样例

输入样例：

2
3 2 5
4 3 9

输出样例：

4
1

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快速幂解决的问题

用来解决快速的求解$a^{k}mod$ $p$的结果
时间复杂度为$O(logk)$

原理（反复平方法）

预处理出来这些值：
$a^{2^0}modp$
$a^{2^1}modp$
$a^{2^2}modp$
$...$
$a^{2^{logk}}modp$

大概是logk个

则$a^k$可以表示为前面分解的这些数的某些数的乘积
则$k$可以表示为$2$的若干次幂的和
（利用k的二进制表示）
$$a^k=a^{2^{x_1}}{a}^{2^{x_2}}...a^{2^{x_t}}=a^{2^{x_1}+2^{x_2}+...+2^{x_t}}$$

如何求$a^x$？
$a^1=a$
$a^{2^1}=(a^1{)}^2$
$a^{2^2}=(a^{2^1}{)}^2$
$...$
$a^{2^{logk}}=(a^{2^{logk}-1}{)}^2$

也就是说，后一个数都是前一个数的平方
也就是经过k次迭代，就可以把这些数分解出来了
其实就是看k的二进制表示里面，哪些位是1，把1对应的这些位对应的数乘起来就可以了

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代码

#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

LL qmi(int a, int k, int p){
    LL res = 1 % p;
    while(k){
        if(k & 1) res = res * a % p;    //如果最后一位是1，乘上a^2^a%p
        a = a * (LL)a % p;  //a向后迭代，继续平方
        k >>= 1;    //把k的最后以为删掉
    }
    return res;
}

int main(){
    int n, a, b, p;
    cin >> n;

    while(n--){
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);
        printf("%lld\n", qmi(a, b, p));
    }

    return 0;
}

作者：为梦而生
链接：https://www.acwing.com/solution/content/220897/
来源：AcWing
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