半加器、全加器的实现和应用——《计算机科学概论》原书第七版 重点内容分析

门和电路

如果想详细了解请访问门和电路——组合电路基本原理

问题分析

任何减法都可以转化为加法，对于二进制的加减法的运算可以查看二进制及原码、反码、补码《计算机科学概论》原书第七版 重点内容分析，多个数的加法我们可以拆分为两个数的加法。
研究两个数的加法，我们可以使用逻辑门来实现半加器和全加器。

半加器

半加器可以实现二进制中一个位的加法运算。
我们只需要考虑一个位（或者最低位）
实现半加器的逻辑电路真值表如下（A、B代表两个被操作数，Sum表示加和，Carry表示进位）：

A 0	B0	Sum	Carry
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

观察真值表，我们可以直接用异或门计算sum，然后使用与门计算Carry。
用布尔表达式可以写为：Sum=A·B Carry= A ⊕ B

全加器

半加器是有局限的，主要的原因是只能实现最低位的加法计算，如果涉及到进位，那么半加器是无法实现的，因此，我们引入了全加器。
全加器的真值表如下（C_in代表进位）：

A1	B1	C_in	Sum	Carry
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

C_in的值是上一位的全加器（也就是carry）直接传递过来的。
在全加器中我们为了求得Sum和carry，需要使用两个半加器和一个或门，计算过程如下：

1. 将A1和B1进行输入半加器，获得S1和C1。
2. 将S1和C_in输入半加器获得S2和C2,Sum即为S2。
3. 将C2与C1输入或门得到Carry.