【算法笔记】动态规划：最长递增子序列

Input

10 9 2 5 3 7 101 18

Output

4 （因为2,3,7,101是最长的递增子序列）

解题思路

该问题满足最优子结构性质，因此可以使用动态规划求解。

定义如下符号：

• 表示问题序列的总长度。
• 表示下标从1到i的一个序列，特别地，表示下标从1开始，长度为n的一个序列，也就是问题的输入。
• 表示中的第个元素。

由于问题的最优解必然对应某个子序列，而这个子序列又必然由某个结尾，因此，由所有结尾的最长递增序列的长度，构成了问题的解空间。因此，再引入符号L，来描述问题的解空间：

• 表示以结尾的最长递增子序列的长度。

显然，为该递增子序列的最大值，就是问题的最优解。

求解，就要得到所有的。求解这一问题，包含了求解从到的所有子问题，从而满足最优子结构性质。

递归方程如下：

转换成代码，思路就是遍历所有，选择满足的最大的，则，如果比所有都要小，则。

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完整代码

Leetcode上面有这个问题，可以上去检验一下：

class Solution {
public:

int max(const int &a, const int &b)
{
    return a>b?a:b;
}
int lengthOfLIS(vector &nums)
{
    int n = nums.size();
    int res = 1;
    if(nums.size() == 0) return 0;
    
    int *l = new int[n];
    l[0] = 1;
    
    for(int i = 1; i < n; i++)  //填充L
    {
        int maxval = 1;
        for(int j = 0; j < i; j++)  //遍历所有的A
        {
            if(nums[i] > nums[j])
            {
                maxval = max(maxval, l[j]+1);
            }
            l[i] = maxval;
        }
    }
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        if(l[i]>res)
        {
            res = l[i];
        }
    }
    return res;
}

};

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参考资料：https://www.zhihu.com/question/23995189