对线代的第一波总结(完结)

第一章行列式

一、逆序

逆序数为奇数则为奇排列
逆序数为偶数则为偶排列
定理：对换改变排列的奇偶性。
各元素行标顺次排列(由小到大)，由项的正负由列标排列的逆序数决定——奇负偶正。

二、如何算行列式？

行列式就两个思想：
①将行列式化成上三角行列式或下三角行列式。(行列式的基本性质)
②降解（通过元素乘该元素的代数余子式）(0多的行列式，一定用降解)

三、行列式性质

1、行列式与转置行列式相等。
2、对调行列式的两行（或两列）行列式变为相反数。
3、行列式某行（或某列）有公因子，则可以提取。
推论1：行列式某行（或某列）元素全为零，则行列式为零。
推论2：行列式两行（或两列）元素相同，则行列式为零。
推论3：行列式两行（或两列）元素成比例，则行列式为零。

四、应用

对齐次线性方程组
D ≠ 0的充要条件是方程组（1）只有零解。
D = 0的充要条件是方程组（1）有非零解。(未解决)
定理2
对非齐线性方程组
D = 0的充要条件是(2)或者无解，或者有无数个解。
D ≠ 0的充要条件是(2）有唯一解，且

第二章矩阵

一、矩阵的定义

（1）如果一个矩阵所有的元素都为0，则称为零矩阵。
（2）如果一个矩阵是n行n列，我们称为n阶方阵。
（3）如果一个矩阵是方形矩阵，如果其矩阵的组对角线之外所有的元素都是0，则称该矩阵为n阶对角矩阵。或称为对角阵。

二、同型矩阵与矩阵相等

称A和B互为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数都一致。
如果矩阵中的每一个元素都相等，则称矩阵相等。

三、矩阵的三则运算

内标决定相乘是否合法。
矩阵之间要进行相乘，一定要两个矩阵的内标相同，即矩阵A的列标与矩阵B的行标相同。
外标决定相乘之后矩阵的型。
矩阵A与矩阵B相乘后，两个矩阵的外标，为结果矩阵C的型。即矩阵C有矩阵A的行数，有矩阵B的列数。

：
①
②
③
④

四、伴随矩阵

那么

由代数余子式构成的矩阵，称为伴随矩阵。形如：

五、逆阵理论

三个思考：①何为逆阵？②逆阵是否存在？③如何求逆阵？
首先，可逆矩阵一定是方阵。

一、定义:

设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B使或，则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵。记A的逆矩阵为。
定理：n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且A可逆时，。

二、存在性定理

①
②
③

④
⑤
③
④ =

。

三、的求法

方法一：伴随矩阵法

方法二：初等变换法

方程组的同解变形

①对调两个方程
②某方程两边乘不为零的数
③某方程的k倍加到另一方程

矩阵的三种初等行变换

①对调两行
②某行乘以
③某行的k倍加到另一行

解方程组只能进行初等行变换
初等行变换和初等列变换统称为初等变换
$矩阵的初等变换\begin{cases} 行变换&\begin{cases} 对调两行\\ 某列乘以k，k≠0\\ 某列的k倍加到另一列\\\end{cases}\\ 列变换&\begin{cases} 对调两列\\ 某行乘以k，k≠0\\ 某行的k倍加到另一行\\\end{cases}\\\\ \end{cases}$
三个初等矩阵
① $E(i,j)=\begin{Bmatrix} {1}&{\cdots}&{{1}}&{\cdots}&{1}\\ {\cdots}&{\ddots} {{b}}&{{1}}&{\cdots}&{\cdots}\\ {\cdots}&{\cdots}&{\ddots}&{\cdots}&{1}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{b}{\ddots}&{\vdots}\\ {1}&{\cdots}&{1}&{\cdots}&{1}\\ \end{Bmatrix}$

② $\begin{Bmatrix} {1}&{\cdots}&{{1}}&{\cdots}&{1}\\ {\cdots}&{\ddots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}\\ {\cdots}&{\cdots}&{c}&{\cdots}&{\cdot}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {1}&{\cdots}&{1}&{\cdots}&{1}\\ \end{Bmatrix}$

读法：
列读：第3列的2倍加到第1列
行读：第1行的2倍加到第3行

③ $E(ij(k))=\begin{Bmatrix} {1}&{\cdots}&{{1}}&{\cdots}&{1}\\ {\cdots}&{\ddots}{1}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}\\ {\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdots}&{\cdot}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{1}{\ddots}&{\vdots}\\ {1}&{\cdots}&{1}&{\cdots}&{1}\\ \end{Bmatrix}$

的求法

例1 求A的逆矩阵：
解：
= 1 ≠0，故A可逆。

$\to \begin{array}{ |ccc|ccc |} 1&0&1&1&0&0\\ 0&1&-1&1&-1&0\\ 0&0&-1&-3&1&1\\ \end{array} \to \begin{array}{ |ccc|ccc |} 1.&0&0&-2&1&1\\ 0&1&0&4&-2&-1\\ 0&0&-1&-3&1&1\\ \end{array} \to \begin{array}{ |ccc|ccc |} 1&0&0&-2&1&1\\ 0&1&0&4&-2&-1\\ 0&0&1&3&-1&-1\\ \end{array}$

六、矩阵的秩理论

一、定义

在中任取A中的r行，r列而成的r阶行列式，称为A的r阶子式() 。
存在r阶子式不为0，对于r+1阶子式皆为零(不一定有r阶子式)，称r为A的秩，记作。

①
②
③称A为非奇异矩阵。称A为满秩。
④

二、

形如这种阶梯式的行，个约束条件。

①
②
③至少两行不成比例

三、性质

①见到使用
②这三种情况使用
③，则
见到AB,r(A),r(B)就使用以上性质。
④则见则用该性质
⑤(秩具有低随波性)
⑥问到伴随矩阵，则可参考此分段情况

向量一般是列向量，向量的秩不超过1.
向量与是不可乘的。
但一个数，是可乘的
矩阵
两个向量相乘，左转右不转是个数。两个向量相乘，左不转右转是个矩阵。

第三章向量

一、定义

形如称为n维列向量。称为模。

内积(数量积)

①
②
③
④如果称正交，记。零向量与任何向量正交。

二、相关性与线性表示

解的情形
$(*)\begin{cases} 只有零解（变量数=约束条件个数）\\ \\ 只有非零解（约束条件少了，存在自由变量）\\ \end{cases}$

相关性——
只有零解，称线性无关
有非零解，存在使得称线性相关
线性表示——
无解，称不可由线性表示
有解，存在使得称可由线性表示

线性相关⇒至少存在一个向量可由其余向量线性表示。

①含零向量的向量组一定线性相关。
②线性相关⇔成比例
③线性相关⇔可由线性表示
④线性无关⇔不可由线性表示，且表示方法唯一

全组无关⇒部分组无关
办公室全员都不是混子，则部分组员也不是混子
部分组相关⇒全组相关
部分组员中有混子，则全员中肯定有混子

①为n个n维向量，则线性无关
②为n个m维向量，且线性相关
③添加向量数，提高相关性
④添加维数，提高无关性
线性无关(不可逆推)

总结：
如果一个向量组，线性相关，有两种理解。

这个向量组对应的齐次线性方程组有非零解。
这个向量组中至少有一个向量是多余的。

在线性无关的基础上，再加入一个向量，有两种可能
①无关继续 ②线性相关

线性相关添加的向量多余
全组无关，部分组一定无关
部分组相关，全组一定相关

如果向量的个数和维数一样多，那么此向量线性无关的充要条件是：行列式不等于0
如果一个向量组个数多了，维数少了，一定线性相关。

线性相关性的证明

三个方面入手：①性质②定义③
例：线性无关问线性关系？
解：令
∵线性无关，所以:

线性无关

三、理论(二)

①向量组等价 ②极大线性无关组（基础解系） ③向量组的秩

向量组等价

如果对于每一个都能用表示，称A组可由B组线性表示，
如果对于每一个都能用表示，称B组可由A组线性表示。
如果同时成立，即A与B组可以相互表示，我们则称A与B向量组等价。

极大线性无关组、向量组的秩

设为向量组:
①若存在个向量线性无关
②对于所有的个向量线性相关(不一定有)，
则称个线性无关的向量组为极大线性无关组，称为向量组的秩。

①极大线性无关组不一定唯一
②向量组与极大线性无关组等价
③线性无关⇔为极大无关组⇔的秩
④
情形一：组的秩=组的秩⇔可由线性表示
情形二：组的秩=组的秩+1⇔不可由线性表示
⑤

$AB=\begin{pmatrix} {a_{11}} &{a_{1n}} \\ \vdots&\vdots \\ {a_{m1}}&{a_{mn}} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} {β_{1}} \\ \vdots\\ {β_{s}}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {(a_{11}+\cdots+α_{1n})β_{1}} &{\cdots} \\ \vdots&\vdots \\ {(a_{m1}+\cdots+α_{mn})β_{1}}&{\cdots} \\ \end{pmatrix}$

A高兴的时候可以进来，不高兴可以出去。特征向量常用
⑥，A=α横着排，系数竖着排

向量组秩的性质

称为A的行向量，其秩称为行秩。
称为A的行向量，其秩称为列秩。
①☆矩阵的秩=行秩=列秩，三秩相等☆。
②A=若A组可由B组线性表示，则A组的秩≤B组的秩。
③A与B向量组等价⇔A与B秩等价

第四章方程组

一、理论

对于齐次线性方程组：
$\begin{cases} a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0\\ \end{cases}⇔\begin{cases} 只有零解\\ \\只有非零解\\ \end{cases}⇔\begin{cases} r(A)=n\\ \\r(A)<n\\ \end{cases}⇔\begin{cases} α_1\cdotsα_n线性无关 \\ \\α_1\cdotsα_n线性相关 \\ \end{cases}$

对于非齐次线性方程组：
$\begin{cases} 有解 ⇔r(A)=r(\overline{A})\begin{cases} 有唯一解⇔r(\overline{A})=n \\ 有无数解⇔r(\overline{A})≤n \\ \end{cases}\\ 无解⇔r(A)\neq r(\overline{A}) \\ \end{cases}$
有解则可由线性表示，无解则不可由线性表示。
对于，若AB=0,则为AX=0的解。

二、通解

（一）

例1：求该方程组的通解。
解：根据方程组，进行归一、排他。 $A=\begin{pmatrix} 1&-1&0&2 \\ 1&0&2&-1 \\ 3&-2&2&3\\ \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1&-1&0&2 \\ 0&1&2&-3 \\ 0&1&2&-3\\ \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1&-1&0&2 \\ 0&1&2&-3 \\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&2&-1 \\ 0&1&2&-3 \\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix}$
方法一：是约束变量,是自由变量，回填时需要变号。
同解方程组： $\begin{cases} x_1=2x_3-x_4\\ x_2=2x_3-3x_4\\ \end{cases},X=\begin{pmatrix} -2x_3+x_4 \\-2x_3+3x_4 \\ x_3\\x_4 \\ \end{pmatrix}=x_3 \begin{pmatrix} -2\\-2\\ 1\\0\\ \end{pmatrix}+x_4 \begin{pmatrix} 1 \\3 \\ 0\\1\\ \end{pmatrix}$
方法二：
由归一与排他可得：

公共解的三种解法

对于,两个非齐次线性方程组.

方法一：将的通解代入中求解
方法二：令的通解相等
方法三：合二为一来求解

第五章特征值与特征向量

一、定义

在中，如果存在存在,使得，则称是矩阵的特征值，是属于特征值的特征向量。

特征方程：称为A的特征方程。

①不一定是实数，如,
$|\lambda E -A| =\begin{vmatrix} {\lambda-a_{11}}&{-a_{12}}&{\cdots}&{-a_{1n}}\\ {a_{21}}&{\lambda-A_{22}}&{\cdots}&{-a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\lambda-a_{ij}}&{\vdots}\\ {-a_{n1}}&{-a_{n2}}&{\cdots}&{\lambda-a_{nn}}\\ \end{vmatrix}⇒\begin{cases} \lambda_1+ \lambda_2+\cdots \lambda_n= a_1+\cdots a_n=tr(A)\\ \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|\\ \end{cases}$
③设为一个特征值，对应的特征向量,非零解。

矩阵相似

若存在可逆矩阵，使得，称A与B相似，记。

①
②
③
④

二、特征值与特征向量的基本性质

（一）一般性质
①
②

若A可逆，则矩阵与逆阵，特征向量共用，特征值互为倒数。

③则A可对角化⇔A有n个线性无关的特征向量
（二）
①若,则
②若,则
③若,则A一定可对角化
（三）对角化过程
一、
①
②
③如果m
重根和秩的关系：
在n阶矩阵A中,若特征值的重数是k，则。

（一）向量正交

如果
线性相关，（反之不成立）

schmidt正交化

设线性无关
1、正交化：

两两正交

规范化：

两两正交且规范化

（二）正交矩阵

如果,则称A为正交矩阵。

性质

①
②
③

等价条件

,则(两两正交且规范)

第六章二次型

一、定义

1、标准化

如果是对角矩阵，则

2、矩阵合同

A，B为n阶阵，若存在可逆阵P，使得称A,B合同，记为

二、标准化

一、配方法（不常用）
二、正交变换法（必考）
①
②
③
④

⑤

三、正定矩阵（正定二次型）

一、定义

如果对于所有的，则称A为正定矩阵。
提供两种方法：
方法一：定义法
方法二：特征值法
一个二次型的矩阵要使二次型正定，该矩阵的各阶顺序主子式的行列式应大于0。
例：若二次型是正定的，那么t应满足？
解：由题可知二次型矩阵为,要使其二次型正定，所以

所以，当t时，二次型正定。

对线代的第一波总结(完结)

第一章 行列式

一、逆序

二、如何算行列式？

三、行列式性质

四、应用

第二章 矩阵

一、矩阵的定义

二、同型矩阵与矩阵相等

三、矩阵的三则运算

四、伴随矩阵

五、逆阵理论

一、定义:

二、存在性定理

三、的求法

六、矩阵的秩理论

一、定义

二、

三、性质

第三章 向量

一、定义

内积(数量积)

二、相关性与线性表示

线性相关性的证明

三、理论(二)

向量组等价

极大线性无关组、向量组的秩

向量组秩的性质

第四章 方程组

一、理论

二、通解

（一）

公共解的三种解法

第五章 特征值与特征向量

一、定义

特征方程：称为A的特征方程。

矩阵相似

二、特征值与特征向量的基本性质

（一）向量正交

schmidt正交化

规范化：

（二）正交矩阵

性质

等价条件

第六章 二次型

一、定义

1、标准化

2、矩阵合同

二、标准化

三、正定矩阵（正定二次型）

一、定义

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第一章行列式

第二章矩阵

第三章向量

第四章方程组

第五章特征值与特征向量

第六章二次型