立体几何之目：2014年理数A19~三棱柱与菱形

2014年理数A19

（19）（本小题满分12 分）

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形，.

（Ⅰ）证明∶ ；

（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.

2014年理科数学全国卷A

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2014年理数A19

【解答第1问】

连接 , 记 与 的交点为 , 再连接 .

∵ 侧面 为菱形，∴ ,

∵ , , ,

∴ 面 , ∴ ,

又∵ , ∴ .

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【解答第2问】

三棱柱 中，面 . 二面角 与二面角 互补。我们先求二面角 .

由已知条件结合第1问结论可知： 是等腰直角三角形， 是正三角形，且

∴ 是等腰三角形，且 .

作 , 为垂足，则 . 就是二面角 的平面角。

令 , 则 ,

∴ 二面角 的余弦值 = .

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【提炼与提高】

本题第1问中，由已知条件菱形推出平面上的线线垂直，由平面上的两对线线垂直推出空间的线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直，推出结论： 是 的垂直平分线, 从而完成证明。

这是立体几何中的常用套路。

如果与「2007年文数海南卷题18」比较会发现，两个命题存在互逆关系。在2007年的海南题中，已知条件是两个等腰三角形，待证内容是空间的线线垂直；在本题第1问中，已知条件包括空间的线线垂直和一个等腰三角形，要求证明另外一个三角形也是等腰三角形。

第2问的待求量为二面角的余弦值。此处我们用几何方面解答。解答过程中用到了二面角 与二面角 的互补关系，算是有一点技巧。如果用向量法解答，也是可以的。请有兴趣的读者实践、比较。

本题对于解题人的空间想象力有较高要求。建议在解答本题前多做一些准备工作，主要是熟悉常见四面体。【相关考题】部分列出了一份清单。在完成这份清单后再来解答本题，就会轻松很多。

这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。

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【相关考题】

2007年文数海南卷题18

2017年文数C19

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