欧氏、曼哈顿、马氏距离

马氏距离(Mahalanobis Distance)、欧氏距离(Euclidean Distance)、曼哈顿距离(Manhattan Distance)是常用的距离度量方式,它们在数据分析、模式识别、聚类等领域中经常被使用。

  1. 欧氏距离(Euclidean Distance):
    • 定义: 欧氏距离是指在欧几里得空间中两点之间的直线距离。对于二维空间中的两点 P(x1​,y1​) 和 Q(x2​,y2​),欧氏距离的计算公式为:
    • 特点: 欧氏距离考虑了各个维度上的差异,是最为直观的距离度量方式。
  2. 曼哈顿距离(Manhattan Distance):
    • 定义: 曼哈顿距离是指两点在网格上沿着坐标轴走过的距离总和。对于二维空间中的两点 P(x1​,y1​) 和 Q(x2​,y2​),曼哈顿距离的计算公式为:
    • 特点: 曼哈顿距离更适用于只能沿着坐标轴移动的情况,例如城市街区的距离。
  3. 马氏距离(Mahalanobis Distance):
    • 定义: 马氏距离是一种考虑数据协方差的距离度量方式。对于多维空间中的两点 PQ,其马氏距离的计算公式为:

    • 特点: 马氏距离考虑了各个维度之间的相关性,因此在处理具有相关性的数据时更为有效。

这些距离度量方式在数据分析、机器学习、模式识别等领域中有不同的应用场景,选择合适的距离度量方式取决于具体问题的性质。

马氏距离(Mahalanobis Distance)、**欧氏距离(Euclidean Distance)曼哈顿距离(Manhattan Distance)**是三种不同的距离度量方式,它们之间有一些区别和联系:

区别:

  1. 计算方式:
    • 欧氏距离: 计算两点之间的直线距离,忽略了各个维度之间的相关性。
    • 曼哈顿距离: 计算两点之间在坐标轴上沿网格线移动的距离总和,同样忽略了各个维度之间的相关性。
    • 马氏距离: 考虑了各个维度之间的相关性,通过协方差矩阵的逆矩阵来加权各个维度的差异。
  2. 方向敏感性:
    • 欧氏距离和曼哈顿距离: 都是对点到点之间的路径具有方向敏感性的距离度量方式。
    • 马氏距离: 考虑了各个维度之间的相关性,具有方向不敏感性。
  3. 应用场景:
    • 欧氏距离和曼哈顿距离: 主要用于对空间中的绝对距离进行度量,适用于维度相互独立的情况。
    • 马氏距离: 主要用于考虑各个维度之间的相关性,适用于维度相关性较高的情况。

联系:

  1. 特例关系:
    • 当协方差矩阵是单位矩阵(各个维度相互独立)时,马氏距离就退化为欧氏距离。
    • 当协方差矩阵是对角矩阵且对角线上的元素相等时,马氏距离就退化为曼哈顿距离。
  2. 应用领域:
    • 欧氏距离和曼哈顿距离: 广泛应用于机器学习、图像处理等领域。
    • 马氏距离: 在涉及到数据协方差结构的情况下,用于考虑各个维度之间的相关性,例如在异常检测和聚类分析中。

在实际应用中,根据具体问题和数据的性质选择适当的距离度量方式,以更准确地反映数据之间的距离关系。

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