欧氏、曼哈顿、马氏距离

马氏距离（Mahalanobis Distance）、欧氏距离（Euclidean Distance）、曼哈顿距离（Manhattan Distance）是常用的距离度量方式，它们在数据分析、模式识别、聚类等领域中经常被使用。

1. 欧氏距离（Euclidean Distance）：
   • 定义： 欧氏距离是指在欧几里得空间中两点之间的直线距离。对于二维空间中的两点 P(x1​,y1​) 和 Q(x2​,y2​)，欧氏距离的计算公式为：
   • 特点： 欧氏距离考虑了各个维度上的差异，是最为直观的距离度量方式。
2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：
   • 定义： 曼哈顿距离是指两点在网格上沿着坐标轴走过的距离总和。对于二维空间中的两点 P(x1​,y1​) 和 Q(x2​,y2​)，曼哈顿距离的计算公式为：
   • 特点： 曼哈顿距离更适用于只能沿着坐标轴移动的情况，例如城市街区的距离。
3. 马氏距离（Mahalanobis Distance）：
   • 定义： 马氏距离是一种考虑数据协方差的距离度量方式。对于多维空间中的两点 P 和 Q，其马氏距离的计算公式为：

• • 特点： 马氏距离考虑了各个维度之间的相关性，因此在处理具有相关性的数据时更为有效。

这些距离度量方式在数据分析、机器学习、模式识别等领域中有不同的应用场景，选择合适的距离度量方式取决于具体问题的性质。

马氏距离（Mahalanobis Distance）、**欧氏距离（Euclidean Distance）和曼哈顿距离（Manhattan Distance）**是三种不同的距离度量方式，它们之间有一些区别和联系：

区别：

1. 计算方式：
   • 欧氏距离： 计算两点之间的直线距离，忽略了各个维度之间的相关性。
   • 曼哈顿距离： 计算两点之间在坐标轴上沿网格线移动的距离总和，同样忽略了各个维度之间的相关性。
   • 马氏距离： 考虑了各个维度之间的相关性，通过协方差矩阵的逆矩阵来加权各个维度的差异。
2. 方向敏感性：
   • 欧氏距离和曼哈顿距离： 都是对点到点之间的路径具有方向敏感性的距离度量方式。
   • 马氏距离： 考虑了各个维度之间的相关性，具有方向不敏感性。
3. 应用场景：
   • 欧氏距离和曼哈顿距离： 主要用于对空间中的绝对距离进行度量，适用于维度相互独立的情况。
   • 马氏距离： 主要用于考虑各个维度之间的相关性，适用于维度相关性较高的情况。

联系：

1. 特例关系：
   • 当协方差矩阵是单位矩阵（各个维度相互独立）时，马氏距离就退化为欧氏距离。
   • 当协方差矩阵是对角矩阵且对角线上的元素相等时，马氏距离就退化为曼哈顿距离。
2. 应用领域：
   • 欧氏距离和曼哈顿距离： 广泛应用于机器学习、图像处理等领域。
   • 马氏距离： 在涉及到数据协方差结构的情况下，用于考虑各个维度之间的相关性，例如在异常检测和聚类分析中。

在实际应用中，根据具体问题和数据的性质选择适当的距离度量方式，以更准确地反映数据之间的距离关系。